Números y operaciones

Aprenderás a trabajar con fracciones, decimales, porcentajes, proporciones, potencias y notación científica para comparar precios, calcular descuentos, ajustar cantidades e interpretar medidas. En cada caso, comprenderás paso a paso cómo llegar al resultado y comprobarlo.

1. La unidad, el orden y los signos

La cantidad y su unidad

Antes de calcular, identifica qué se cuenta o se mide. Tres cuartos de una botella de $2\mathrm{L}$ no equivalen a tres cuartos de litro: en el primer caso la unidad de referencia es toda la botella. Escribe siempre la cantidad y la unidad. Usaremos coma decimal y espacios para agrupar miles: $\mathrm{2,5}\mathrm{k}\mathrm{g}$; $\mathrm{\$}12500$.

Números y signos

Los naturales sirven para contar; los enteros incluyen el cero y los negativos, útiles para deudas o temperaturas; los racionales pueden expresarse como ${\displaystyle \frac{a}{b}}$, donde a y b son enteros y b no es cero. En la recta numérica, los números aumentan hacia la derecha. Por eso $-2$ es mayor que $-5$, aunque 5 sea mayor que 2. El valor absoluto $\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }=5$ expresa distancia al cero, sin signo.

Sumar un negativo es restar: $7+(-3)=4$. Restar un negativo es sumar: $7-(-3)=10$. En productos y cocientes, signos iguales dan resultado positivo y signos distintos, negativo. No apliques esta regla a una suma: $-7+3=-4$.

El orden de las operaciones

Respeta la jerarquía: primero paréntesis, luego potencias, después multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y finalmente sumas y restas, también de izquierda a derecha. En $18-6÷3\times 2$, división y multiplicación tienen la misma prioridad: empieza por $6÷3=2$, que aparece a la izquierda. La expresión queda $18-2\times 2$. Ahora calcula $2\times 2=4$ y, por último, $18-4=14$. Cada paso sustituye una operación por su resultado y conserva el resto de la expresión. Dividir entre cero no está definido: por ejemplo, $6÷0$ exigiría un número que multiplicado por cero produjera 6, y no existe.

2. Fracciones: partes iguales y equivalencias

Qué significa una fracción

En ${\displaystyle \frac{a}{b}}$, el denominador b indica en cuántas partes iguales se divide la unidad; el numerador a indica cuántas se toman. Si las partes no son iguales, contar partes pintadas no basta para hallar una fracción. Una fracción también representa división: ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ significa $3÷4$.

Equivalencia y comparación

Multiplicar o dividir numerador y denominador por el mismo número distinto de cero conserva el valor: ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$. Para obtener ${\displaystyle \frac{6}{8}}$, multiplica $3\times 2=6$ y $4\times 2=8$: tomas el doble de partes, pero cada parte mide la mitad. Simplificar es dividir ambos términos por un divisor común. En ${\displaystyle \frac{18}{24}}$, tanto 18 como 24 son divisibles por 6: $18÷6=3$ y $24÷6=4$, así que ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. No se puede simplificar eliminando cifras que se parecen.

Para comparar fracciones con denominadores positivos, llévalas a un denominador común. Entre ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ y ${\displaystyle \frac{7}{9}}$, usamos 18 porque $6\times 3=18$ y $9\times 2=18$. Multiplicamos también los numeradores: $5\times 3=15$ y $7\times 2=14$. Obtenemos ${\displaystyle \frac{15}{18}}$ y ${\displaystyle \frac{14}{18}}$; como las partes tienen igual tamaño, quince partes son más que catorce. Por tanto, ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ es mayor que ${\displaystyle \frac{7}{9}}$. No decidas mirando únicamente el numerador. Una fracción impropia puede ser mayor que la unidad: ${\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}=1+{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

3. Operar con fracciones sin perder el significado

Sumar y restar

Para sumar o restar necesitas partes del mismo tamaño. Si los denominadores coinciden, opera los numeradores y conserva el denominador. Si son distintos, busca un múltiplo común y convierte antes de operar. Para ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$, el menor múltiplo común de 3 y 4 es 12. Calcula $12÷3=4$: multiplica ambos términos de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ por 4 y obtienes ${\displaystyle \frac{4}{12}}$. Después calcula $12÷4=3$: multiplica ambos términos de ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ por 3 y obtienes ${\displaystyle \frac{3}{12}}$. Ahora suma $4+3=7$ y conserva los doceavos:

${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{4}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$

Sumar los denominadores daría ${\displaystyle \frac{2}{7}}$, que es menor que ${\displaystyle \frac{1}{3}}$: eso ya contradice que agregaste una cantidad positiva. Estimar permite detectar errores sin repetir toda la cuenta.

Multiplicar y dividir

Multiplicar fracciones significa tomar una parte de otra parte. Multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí: en $({\displaystyle \frac{2}{3}})\times ({\displaystyle \frac{3}{5}})$, arriba queda $2\times 3=6$ y abajo $3\times 5=15$. Simplifica ${\displaystyle \frac{6}{15}}$ dividiendo ambos términos por 3: $6÷3=2$ y $15÷3=5$. El resultado es ${\displaystyle \frac{2}{5}}$. Si tomas dos tercios de tres quintos de una parcela, usas dos quintos del total. Multiplicar una cantidad positiva por un factor positivo menor que 1 reduce su valor.

Dividir por una fracción distinta de cero equivale a multiplicar por su recíproco, obtenido al intercambiar numerador y denominador. En $({\displaystyle \frac{3}{4}})÷({\displaystyle \frac{1}{8}})$, el recíproco de ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ es ${\displaystyle \frac{8}{1}}$. Calcula $({\displaystyle \frac{3}{4}})\times ({\displaystyle \frac{8}{1}})={\displaystyle \frac{24}{4}}=6$. El significado permite comprobarlo: ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ equivale a ${\displaystyle \frac{6}{8}}$, por lo que contiene seis porciones de ${\displaystyle \frac{1}{8}}$. Multiplicar el resultado por el divisor devuelve la cantidad inicial: ${\displaystyle \frac{6\times 1}{8}}={\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Dividir no siempre hace más pequeño un número.

4. Decimales, aproximaciones y medidas

Del decimal a la fracción

Cada posición decimal vale una décima parte de la anterior: $\mathrm{0,37}$ son 3 décimas y 7 centésimas, es decir, ${\displaystyle \frac{37}{100}}$. Para pasar una fracción a decimal, divide el numerador por el denominador: ${\displaystyle \frac{3}{8}}=\mathrm{0,375}$. Algunos resultados son periódicos: ${\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,333}\dots$; escribir $\mathrm{0,33}$ es aproximarlo, no obtener una igualdad exacta.

Cálculos con decimales

Al sumar decimales, alinea las comas y completa con ceros si ayuda: $\mathrm{2,7}=\mathrm{2,70}$. En centésimas, $\mathrm{2,70}+\mathrm{0,35}$ equivale a ${\displaystyle \frac{270+35}{100}}={\displaystyle \frac{305}{100}}=\mathrm{3,05}$. Al multiplicar $\mathrm{1,2}\times \mathrm{0,3}$, escribe $({\displaystyle \frac{12}{10}})\times ({\displaystyle \frac{3}{10}})={\displaystyle \frac{36}{100}}=\mathrm{0,36}$; hay dos posiciones decimales porque se multiplicaron dos denominadores iguales a 10. Para dividir $\mathrm{4,5}$ entre $\mathrm{0,15}$, multiplica ambos números por 100, lo que conserva el cociente: $450÷15=30$. Comprueba que $15\times 30=450$ y, en las cantidades originales, $\mathrm{0,15}\times 30=\mathrm{4,5}$.

Redondeo y unidades

Redondea según la posición pedida: $\mathrm{3,146}$ a centésimas es $\mathrm{3,15}$, porque la cifra siguiente es 6. El símbolo $\approx$ significa «aproximadamente igual». Conserva cifras durante el procedimiento y redondea al final. Si se necesitan buses para 61 personas y caben 30 por bus, ${\displaystyle \frac{61}{30}}\approx \mathrm{2,03}$ no se redondea al entero más cercano: se requieren 3 buses para transportar a todos, pues en dos solo caben 60 personas.

Convierte unidades antes de comparar: $750\mathrm{m}\mathrm{L}=\mathrm{0,75}\mathrm{L}$ porque $1\mathrm{L}=1000\mathrm{m}\mathrm{L}$. El factor de conversión debe cancelar la unidad inicial: $750\mathrm{m}\mathrm{L}\times {\displaystyle \frac{1\mathrm{L}}{1000\mathrm{m}\mathrm{L}}}=\mathrm{0,75}\mathrm{L}$.

5. Porcentajes: identifica siempre la base

La parte y el total

Un porcentaje es una razón respecto de cien: $25\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{25}{100}}=\mathrm{0,25}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Para hallar $p\mathrm{\%}$ de una cantidad B, multiplica ${\displaystyle \frac{B\times p}{100}}$. B es la base o totalidad de referencia. Para hallar qué porcentaje representa una parte A, calcula ${\displaystyle \frac{100\times A}{B}}$, con B distinto de cero.

Aumentos y descuentos

Un aumento del $12\mathrm{\%}$ deja el $100\mathrm{\%}+12\mathrm{\%}=112\mathrm{\%}$ del valor original. Como ${\displaystyle \frac{112}{100}}=\mathrm{1,12}$, multiplicas el original por $\mathrm{1,12}$. Un descuento del $12\mathrm{\%}$ deja el $100\mathrm{\%}-12\mathrm{\%}=88\mathrm{\%}$; por eso multiplicas por ${\displaystyle \frac{88}{100}}=\mathrm{0,88}$. Si conoces el precio final después de ese descuento, la relación es $\text{final}=\text{original}\times \mathrm{0,88}$. Deshaces la multiplicación dividiendo: $\text{original}={\displaystyle \frac{\text{final}}{\mathrm{0,88}}}$. No sumes simplemente el $12\mathrm{\%}$ del precio final, porque esa es otra base.

Comparar cambios

$\text{Cambio porcentual}=100\times {\displaystyle \frac{\text{valor final}-\text{valor inicial}}{\text{valor inicial}}}$

Esta expresión supone un valor inicial distinto de cero; en precios y cantidades positivas, el signo indica aumento o disminución. Pasar de $40\mathrm{\%}$ a $50\mathrm{\%}$ es subir 10 puntos porcentuales, porque $50-40=10$. Para calcular el crecimiento relativo, divide ese cambio por el valor inicial: ${\displaystyle \frac{10}{40}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$. Al expresarlo como porcentaje, $\mathrm{0,25}\times 100\mathrm{\%}=25\mathrm{\%}$. Son comparaciones diferentes.

Los cambios sucesivos se multiplican. Aumentar $20\mathrm{\%}$ y luego descontar $20\mathrm{\%}$ produce $\mathrm{1,20}\times \mathrm{0,80}=\mathrm{0,96}$: queda el $96\mathrm{\%}$ del original, es decir, $100\mathrm{\%}-96\mathrm{\%}=4\mathrm{\%}$ menos. Con $\mathrm{\$}50000$, el primer cambio suma ${\displaystyle \frac{50000\times 20}{100}}=10000$ y deja $\mathrm{\$}60000$. El segundo resta ${\displaystyle \frac{60000\times 20}{100}}=12000$ y deja $\mathrm{\$}48000$. La diferencia respecto del inicio es $50000-48000=2000$; como ${\displaystyle \frac{2000}{50000}}=\mathrm{0,04}$, confirma una reducción del $4\mathrm{\%}$. Los porcentajes actuaron sobre bases distintas.

6. Razones, proporciones y tasas

Razones y proporcionalidad directa

Una razón compara cantidades mediante un cociente. Si un grupo tiene 12 mujeres y 8 hombres, la razón mujeres:hombres es $12:8=3:2$. La fracción de mujeres respecto del grupo es ${\displaystyle \frac{12}{20}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$, no ${\displaystyle \frac{3}{2}}$: cambió lo que se compara.

Dos cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante. Si cada cuaderno cuesta $\mathrm{\$}3000$ y no hay cargos fijos, el costo C de n cuadernos es $C=3000n$. Al duplicar n, se duplica C. Una tabla es proporcional si todas las razones ${\displaystyle \frac{C}{n}}$ son iguales, para n distinto de cero; una gráfica de proporcionalidad directa pasa por el origen.

Proporcionalidad inversa

Son inversamente proporcionales cuando su producto permanece constante. Para recorrer una distancia fija a velocidad constante, $\text{tiempo}\times \text{velocidad}=\text{distancia}$. Duplicar la velocidad reduce el tiempo a la mitad. Esta relación exige mantener la distancia; no sirve si también cambia el recorrido.

Tasas y límites del modelo

Una tasa compara magnitudes de unidades distintas: $\mathrm{\$}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$. La tasa unitaria permite comparar presentaciones de tamaños diferentes. En problemas de trabajadores y tiempo, declarar «doble personal, mitad de tiempo» exige igual productividad, tareas repartibles y ausencia de interferencias. La proporcionalidad es un modelo que hay que justificar.

Que dos cantidades aumenten juntas no demuestra proporcionalidad directa. Un domicilio cobra $\mathrm{\$}4000$ fijos más $\mathrm{\$}2000$ por producto: uno cuesta $\mathrm{\$}6000$ y dos cuestan $\mathrm{\$}8000$, no $\mathrm{\$}12000$. Al duplicar los productos no se duplica el cobro total. Esta diferencia entre un cargo fijo y una tasa se estudiará con funciones en el siguiente tema.

7. Potencias, raíces y notación científica

Entender una potencia

La potencia $a^n$ representa n factores iguales a a cuando n es un entero positivo. Así, $2^4=2\times 2\times 2\times 2=16$. Al multiplicar potencias de igual base se suman exponentes; al dividirlas, se restan, siempre que el divisor no sea cero. Una potencia de otra potencia multiplica exponentes: $(2^3{)}^2=2^6$.

Exponentes y raíces

Para a distinto de cero, $a^0=1$ y $a^{-n}={\displaystyle \frac{1}{a^n}}$. El exponente negativo no vuelve negativo el resultado: ${10}^{-2}=\mathrm{0,01}$. Los paréntesis importan: $(-3{)}^2=9$, mientras que $-3^2=-9$. La raíz cuadrada $\sqrt{a}$, cuando a es mayor o igual que cero, es el número no negativo cuyo cuadrado es a; $\sqrt{49}=7$. Resolver $x^2=49$ sí da dos posibilidades: $x=7$ o $x=-7$.

Escribir y operar en notación científica

La notación científica escribe un número positivo como $c\times {10}^n$, donde el coeficiente c es mayor o igual que 1 y menor que 10, y el exponente n es entero. Por ejemplo, $\mathrm{0,000}42\mathrm{m}=\mathrm{4,2}\times {10}^{-4}\mathrm{m}$. Para multiplicar $3\times {10}^5$ por $2\times {10}^{-2}$, multiplica $3\times 2$ y suma $5+(-2)$: obtienes $6\times {10}^3$. Conserva las unidades y verifica si el orden de magnitud es razonable.

Para sumar cantidades en notación científica, expresa primero ambas con la misma potencia de diez: $3\times {10}^3+4\times {10}^2=3000+400=3400=\mathrm{3,4}\times {10}^3$. La regla de sumar exponentes corresponde a multiplicar potencias de igual base; no corresponde a sumarlas.

Ejemplos resueltos paso a paso

Errores frecuentes y cómo evitarlos

Lo que debes recordar

Autoevaluación: cinco preguntas originales

Selecciona una sola respuesta en cada pregunta. Anota tu elección y el procedimiento que la justifica. Las soluciones están en un apartado separado, después de las cinco preguntas.

Pregunta 1

Una botella contiene $\mathrm{1,5}\mathrm{L}$ de agua. Se bebe ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ de su contenido. ¿Cuánta agua queda?

1. $\mathrm{0,6}\mathrm{L}$
2. $\mathrm{0,9}\mathrm{L}$
3. $\mathrm{1,1}\mathrm{L}$
4. $\mathrm{1,3}\mathrm{L}$

Pregunta 2

Un artículo de $\mathrm{\$}80000$ recibe descuentos sucesivos de $10\mathrm{\%}$ y $20\mathrm{\%}$. ¿Cuál es su precio final?

1. $\mathrm{\$}56000$
2. $\mathrm{\$}64000$
3. $\mathrm{\$}57600$
4. $\mathrm{\$}72000$

Pregunta 3

Una máquina llena 18 botellas en 3 minutos y mantiene su ritmo. ¿Qué expresión calcula cuántas llena en 8 minutos?

1. ${\displaystyle \frac{18\times 8}{3}}$
2. ${\displaystyle \frac{18\times 3}{8}}$
3. $18+8-3$
4. ${\displaystyle \frac{18}{8}}$

Pregunta 4

Una estudiante afirma que ${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{4}{12}}$. ¿Cuál argumento refuta su procedimiento?

1. El resultado de una suma siempre debe ser entero.
2. Solo se pueden sumar fracciones iguales.
3. El numerador nunca cambia.
4. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ equivale a ${\displaystyle \frac{2}{8}}$; por tanto, la suma es ${\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Pregunta 5

Un sensor registra $\mathrm{0,000}036\mathrm{m}$. ¿Cuál escritura corresponde a notación científica normalizada?

1. $36\times {10}^{-6}\mathrm{m}$
2. $\mathrm{3,6}\times {10}^{-5}\mathrm{m}$
3. $\mathrm{3,6}\times {10}^5\mathrm{m}$
4. $\mathrm{0,36}\times {10}^{-4}\mathrm{m}$

Respuestas y explicaciones

Compara el razonamiento, además de la letra elegida. Si acertaste por descarte, intenta reconstruir el procedimiento sin mirar la solución.

Pregunta 1: opción B

1. La unidad de referencia es la botella de $\mathrm{1,5}\mathrm{L}$. Divide su contenido en cinco partes iguales: $\mathrm{1,5}÷5=\mathrm{0,3}\mathrm{L}$ por parte, porque $\mathrm{0,3}\times 5=\mathrm{1,5}$.
2. Se beben dos partes: $\mathrm{0,3}\times 2=\mathrm{0,6}\mathrm{L}$.
3. Resta lo bebido al contenido inicial: $\mathrm{1,5}-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,9}\mathrm{L}$.
4. Comprueba contando las tres partes que quedan: $5-2=3$ y $3\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,9}\mathrm{L}$. También $\mathrm{0,6}+\mathrm{0,9}=\mathrm{1,5}\mathrm{L}$.

La respuesta es $\mathrm{0,9}\mathrm{L}$. La opción $\mathrm{0,6}\mathrm{L}$ responde cuánto se bebió, no cuánto quedó.

Las opciones $\mathrm{1,1}\mathrm{L}$ y $\mathrm{1,3}\mathrm{L}$ tratan las fracciones como cantidades de litros que se restan directamente, sin calcular primero la parte de la botella.

Pregunta 2: opción C

1. Primer descuento: ${\displaystyle \frac{80000\times 10}{100}}=8000$ pesos. Resta la rebaja: $80000-8000=72000$ pesos.
2. La segunda base es ahora $\mathrm{\$}72000$. Su $20\mathrm{\%}$ es $(72000÷100)\times 20=720\times 20=14400$ pesos.
3. Resta la segunda rebaja: $72000-14400=57600$ pesos.
4. Comprueba con los factores que quedan: ${\displaystyle \frac{90}{100}}=\mathrm{0,90}$ y ${\displaystyle \frac{80}{100}}=\mathrm{0,80}$. El producto $80000\times \mathrm{0,90}\times \mathrm{0,80}=57600$ coincide. Se pagó el $72\mathrm{\%}$ del original, porque $\mathrm{0,90}\times \mathrm{0,80}=\mathrm{0,72}$.

El precio final es $\mathrm{\$}57600$. Sumar $10\mathrm{\%}$ y $20\mathrm{\%}$ daría una rebaja del $30\mathrm{\%}$ sobre $80000$ y un precio de $56000$; eso utiliza una base incorrecta para el segundo descuento.

$\mathrm{\$}64000$ aplica solo el descuento del $20\mathrm{\%}$ al precio original; $\mathrm{\$}72000$ aplica solo el del $10\mathrm{\%}$.

Pregunta 3: opción A

1. Encuentra la cantidad por minuto: $18\text{botellas}÷3\text{minutos}=6\text{botellas por minuto}$, porque $6\times 3=18$.
2. Multiplica ese ritmo por los ocho minutos: ${\displaystyle \frac{6\text{botellas}}{\text{minuto}}}\times 8\text{minutos}=48\text{botellas}$. Los minutos se cancelan.
3. Escribe el procedimiento sin calcularlo antes: $({\displaystyle \frac{18}{3}})\times 8={\displaystyle \frac{18\times 8}{3}}$. Esta es la expresión de la opción A.
4. Comprueba el ritmo: $48÷8=6$ botellas por minuto, el mismo que $18÷3$.

La opción A calcula 48 botellas. El ritmo constante permite usar proporcionalidad directa; más tiempo produce más botellas.

${\displaystyle \frac{18\times 3}{8}}$ invierte la relación; $18+8-3$ mezcla botellas con minutos; ${\displaystyle \frac{18}{8}}$ no usa la tasa dada de 18 botellas cada 3 minutos.

Pregunta 4: opción D

1. Elige octavos, porque el primer denominador ya es 8 y $4\times 2=8$.
2. Transforma ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ multiplicando numerador y denominador por 2: ${\displaystyle \frac{1\times 2}{4\times 2}}={\displaystyle \frac{2}{8}}$.
3. Suma los numeradores y conserva el denominador: ${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{3+2}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$.
4. Comprueba la contradicción del resultado propuesto: ${\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{8}{24}}$ y ${\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{9}{24}}$. El supuesto resultado es menor que el primer sumando, aunque se añadió una cantidad positiva; por eso no puede ser correcto.

La opción D muestra la equivalencia necesaria y el resultado correcto. Convertir a octavos conserva los valores y permite sumar partes del mismo tamaño.

Una suma puede dar una fracción. Se pueden sumar fracciones diferentes después de convertirlas a un denominador común; el numerador sí puede cambiar al buscar una fracción equivalente.

Pregunta 5: opción B

1. El coeficiente debe ser mayor o igual que 1 y menor que 10. Por eso se elige $\mathrm{3,6}$; ni 36 ni $\mathrm{0,36}$ cumplen ese intervalo.
2. Para llegar desde $\mathrm{0,000}036$ hasta $\mathrm{3,6}$ se multiplica por 10 cinco veces: $\mathrm{0,000}36\to \mathrm{0,003}6\to \mathrm{0,036}\to \mathrm{0,36}\to \mathrm{3,6}$.
3. Como el coeficiente se hizo $100000$ veces mayor, compensa dividiendo entre $100000$: ${\displaystyle \frac{\mathrm{3,6}}{100000}}=\mathrm{3,6}\times {10}^{-5}$.
4. Comprueba la operación inversa: $\mathrm{3,6}÷10=\mathrm{0,36}$; después $\mathrm{0,036}$; después $\mathrm{0,003}6$; después $\mathrm{0,000}36$; y, tras la quinta división, $\mathrm{0,000}036\mathrm{m}$.

La respuesta es $\mathrm{3,6}\times {10}^{-5}\mathrm{m}$. Las opciones con coeficientes 36 y $\mathrm{0,36}$ tienen el mismo valor numérico, pero no cumplen la condición de normalización.

El exponente positivo de la opción C representa un número grande, incompatible con una medida menor que una unidad.