Geometría espacial

Aprenderás a interpretar cuerpos y sus vistas, calcular superficies, volúmenes y capacidades, y localizar puntos en tres dimensiones. Resolverás situaciones de cajas, recipientes, materiales y escalas, explicando cada operación y comprobando sus unidades.

1. Del plano al espacio

Longitud, superficie y volumen

La geometría espacial estudia cuerpos de tres dimensiones. Una longitud mide una distancia; un área, una superficie; y un volumen, el espacio ocupado por un cuerpo. En una caja puedes medir el largo en centímetros, el cartón que la recubre en centímetros cuadrados y el espacio interior en centímetros cúbicos. Son magnitudes distintas: no se suman entre sí.

Caras, aristas y vértices

Un poliedro está limitado por caras planas con forma de polígonos. Una arista es el segmento compartido por dos caras; un vértice es un punto donde se encuentran aristas. Un prisma rectangular, también llamado ortoedro, tiene seis caras rectangulares, doce aristas y ocho vértices. El cubo es un caso particular: sus seis caras son cuadrados iguales.

Para un poliedro convexo se cumple la relación de Euler: $N_v-N_a+N_c=2$, donde los símbolos cuentan vértices, aristas y caras. En el prisma rectangular, $8-12+6=2$. Es una comprobación del recuento, no una fórmula de área o volumen. No la apliques automáticamente a cuerpos con agujeros ni a superficies curvas.

Reconocer la familia del cuerpo

Un prisma tiene dos bases poligonales paralelas e iguales, conectadas por caras laterales que son paralelogramos. Una pirámide tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se reúnen en un vértice. Un cilindro circular recto tiene dos bases circulares y una superficie lateral curva. Un cono circular recto tiene una base circular y un vértice situado sobre su centro. Una esfera es una superficie curva; el cuerpo que encierra se llama bola, aunque es habitual hablar del volumen de la esfera.

2. Interpretar dibujos, vistas y desarrollos

Lo visible no es todo lo que existe

Un dibujo en perspectiva muestra tres dimensiones sobre una hoja. Las líneas pueden verse inclinadas o acortadas; eso no cambia las medidas reales. Las longitudes se obtienen de los datos y las marcas, no midiendo la ilustración. En una vista ortogonal se mira perpendicularmente a un plano: la planta muestra largo y fondo; la vista frontal, largo y altura; y la lateral, fondo y altura.

Para contar cubitos en una construcción, no cuentes solo los que ves. Si se indica que las columnas son macizas desde el suelo, suma sus alturas. Una planta con alturas permite reconstruir el total; una silueta aislada puede corresponder a construcciones diferentes.

Desplegar sin estirar las caras

Un desarrollo plano permite recortar y plegar la superficie de un cuerpo. Cada cara debe aparecer una sola vez; al plegar, los bordes correspondientes deben coincidir y las caras no deben superponerse. No cualquier agrupación de seis cuadrados es un desarrollo de un cubo. En el desarrollo mostrado, cuatro cuadrados forman una banda y los otros dos cierran las aberturas.

3. Construir la idea de volumen con capas

Contar cubos unidad

Un cubo de arista 1 cm tiene volumen $1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. Si una capa rectangular contiene tres cubos de largo y dos de fondo, tiene $3\times 2=6$ cubos. Cuatro capas iguales contienen $6\times 4=24$ cubos. Esta es la razón del producto largo por ancho por altura: primero contamos una capa y después cuántas capas hay.

Prisma rectangular y cubo

En un prisma rectangular, $V=lwh$: $l$ es el largo, $w$ el ancho o fondo y $h$ la altura. Las tres medidas deben estar en la misma unidad. Para una caja de 6 cm por 4 cm por 3 cm, el área de una capa es $6\times 4=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$, y $V=24\times 3=72{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. Aunque las medidas no sean enteras, la fórmula sigue siendo válida.

En un cubo todas las aristas miden $s$, de modo que $V=s^3$. Si su volumen es $125{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, su arista es $s=\sqrt[3]{125}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$: buscamos el número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da 125. Si conoces el volumen y el área de base de un prisma, despeja $h={\displaystyle \frac{V}{A_b}}$; dividir centímetros cúbicos entre centímetros cuadrados devuelve centímetros.

4. Unidades cúbicas y capacidad

Por qué el factor se eleva al cubo

Como $1\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$, un cubo de un metro de arista contiene $100\times 100\times 100$ cubos de un centímetro de arista. Por tanto, $1{\mathrm{m}}^3=1000000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. No basta multiplicar por 100: cambian las tres dimensiones. Entre unidades consecutivas como metro, decímetro y centímetro, el factor de longitud es 10 y el de volumen es ${10}^3=1000$.

1. Para convertir $\mathrm{0,08}{\mathrm{m}}^3$ a centímetros cúbicos, hay dos saltos: de metro cúbico a decímetro cúbico y de este a centímetro cúbico.
2. Aplica $\mathrm{0,08}\times 1000\times 1000=80000$.
3. El resultado es $80000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. Comprueba que el número crece al usar una unidad más pequeña.

Relacionar litros y volumen interior

La capacidad indica el volumen interior que un recipiente puede contener. Se cumple exactamente $1\mathrm{L}=1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$, $1\mathrm{m}\mathrm{L}=1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ y $1{\mathrm{m}}^3=1000\mathrm{L}$. Un cubo interior de 10 cm de arista tiene ${10}^3=1000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, es decir, un litro. Para pasar de centímetros cúbicos a litros, divide entre 1000.

5. Superficie de cajas y cubos

Sumar las caras que se recubren

El área total de un cuerpo cerrado es la suma de todas sus superficies exteriores. En una caja rectangular hay dos caras de área $lw$, dos de área $lh$ y dos de área $wh$. Por eso $A_T=2(lw+lh+wh)$. Con medidas 6, 4 y 3 cm, esas áreas son 24, 18 y 12 centímetros cuadrados; el total es $2(24+18+12)=108{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

En un cubo, las seis caras tienen área $s^2$, por lo que $A_T=6s^2$. Un cubo de arista 4 cm tiene área $6\times 16=96{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ y volumen $4^3=64{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. La diferencia entre 96 y 64 no representa ninguna magnitud útil: las unidades son distintas.

Una caja sin tapa tiene cinco caras

Si el recipiente está abierto arriba, no se cuenta la tapa. Con base de 6 cm por 4 cm y altura 3 cm, el área de material, ignorando espesor y pestañas, es $108-24=84{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. También se obtiene sumando una base y cuatro paredes: $24+36+24=84$. Si solo se pintan las paredes, el área es $36+24=60{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

6. Prismas con otras bases

Área de base por altura perpendicular

Para cualquier prisma, $V=A_{b}h$, donde $A_b$ es el área de una base y $h$ la distancia perpendicular entre las bases. En un prisma triangular, primero calcula el área del triángulo. Si la base es un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm, $A_b={\displaystyle \frac{3\times 4}{2}}=6{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Si el prisma mide 8 cm entre sus bases, $V=6\times 8=48{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.

En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos. Al desplegarlas forman una banda de ancho igual al perímetro de base $P_b$ y altura $h$. Así, $A_L=P_{b}h$ y $A_T=P_{b}h+2A_b$. En el prisma anterior, la hipotenusa de la base mide 5 cm; $P_b=3+4+5=12$ cm. Entonces $A_L=12\times 8=96{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ y $A_T=96+12=108{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

La inclinación no sustituye la altura

En un prisma oblicuo las aristas laterales están inclinadas. El volumen sigue siendo área de base por altura perpendicular, pero no se usa la longitud de la arista inclinada como altura. Si dos prismas tienen la misma área de base y la misma altura, tienen igual volumen: las secciones paralelas a sus bases mantienen la misma área a cada nivel. Esta comparación es un caso del principio de Cavalieri.

7. Cilindros: la etiqueta, las tapas y el contenido

Desarrollar la superficie lateral

Al cortar por una generatriz y extender la superficie lateral de un cilindro circular recto, se obtiene un rectángulo. Uno de sus lados mide la altura $h$; el otro mide la circunferencia de base, $2\pi r$. Por eso $A_L=2\pi rh$. Un cilindro cerrado añade dos círculos: $A_T=2\pi rh+2\pi r^2$. Si no tiene tapa, se añade solo una base.

Calcular el volumen desde el radio

La base tiene área $A_b=\pi r^2$, de modo que $V=\pi r^{2}h$. Para radio 3 cm y altura 10 cm: $r^2=9$, $A_b=9\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ y $V=90\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, aproximadamente 282,74 centímetros cúbicos. Si el dato fuera diámetro 6 cm, primero dividirías entre dos para obtener el radio.

Un recipiente parcialmente lleno

En un cilindro vertical, usa la altura del líquido para hallar el volumen ocupado. Con radio interior 4 cm y altura total 10 cm, la capacidad es $160\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. Si el líquido llega a 5 cm, ocupa $\pi \times 16\times 5=80\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, la mitad. La proporcionalidad entre volumen y altura se debe a que el área de sección es constante.

8. Pirámides: volumen y caras laterales

La tercera parte de un prisma comparable

Una pirámide de área de base $A_b$ y altura perpendicular $h$ tiene volumen $V={\displaystyle \frac{A_{b}h}{3}}$. Un prisma con la misma área de base y altura tiene el triple de volumen. La división entre tres no depende del número de lados de la base: también se usa en pirámides triangulares o pentagonales.

Con base cuadrada de lado 4 cm y altura 6 cm, $A_b=16{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$; el prisma comparable ocupa $16\times 6=96{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, y la pirámide, ${\displaystyle \frac{96}{3}}=32{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. Si ya conoces el volumen, $h={\displaystyle \frac{3V}{A_b}}$. En una pirámide, las secciones se hacen menores al acercarse al vértice: no hay capas de igual área como en un prisma.

Altura del cuerpo y apotema lateral

En una pirámide regular, la base es un polígono regular y el vértice está sobre su centro. La altura $h$ llega perpendicularmente al plano de base. La apotema lateral $g$ va del vértice al punto medio de un lado de la base; es la altura de una cara triangular. La arista lateral llega a una esquina y es otra longitud.

1. En una pirámide regular de base cuadrada de lado 6 cm, la distancia del centro al punto medio de un lado es ${\displaystyle \frac{6}{2}}=3$ cm.
2. Si la altura del cuerpo mide 4 cm, aplica Pitágoras: $g^2=4^2+3^2=25$.
3. La apotema lateral es $g=5\mathrm{c}\mathrm{m}$. No es la arista que llega a una esquina.

Sumar los triángulos laterales

En una pirámide regular, cada cara triangular usa como base un lado del polígono y como altura $g$. Al sumar, $A_L={\displaystyle \frac{P_{b}g}{2}}$, y $A_T=A_L+A_b$. En la pirámide de lado 6 cm, $P_b=24$ cm, $A_L={\displaystyle \frac{24\times 5}{2}}=60{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ y $A_T=60+36=96{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Su volumen usa la altura 4, no la apotema 5.

9. Conos: altura, generatriz y desarrollo

Tres medidas con funciones distintas

En un cono circular recto, el radio $r$ está en la base, la altura $h$ va del centro al vértice y la generatriz $g$ une el vértice con la circunferencia por la superficie lateral. Forman un triángulo rectángulo: $g^2=r^2+h^2$. Con radio 3 cm y altura 4 cm, $g=\sqrt{9+16}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$.

La superficie lateral es un sector circular

Al desplegar el lateral se obtiene un sector de radio $g$. Su arco debe medir lo mismo que la circunferencia de la base: $2\pi r$. El círculo completo de radio $g$ tendría longitud $2\pi g$; por eso el sector ocupa la fracción ${\displaystyle \frac{r}{g}}$ de ese círculo. Su área es esa fracción de $\pi g^2$, es decir, $A_L=\pi rg$. Si se incluye la base, $A_T=\pi rg+\pi r^2$.

Para esas medidas, $A_L=15\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ y $A_T=24\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Un cono sin base, como un modelo de sombrero de papel sin pestañas, necesita solo el lateral; un sólido cerrado incluye también el círculo.

Una tercera parte del cilindro

El volumen es $V={\displaystyle \frac{\pi r^{2}h}{3}}$: la tercera parte del cilindro de igual base y altura. Con radio 3 cm y altura 4 cm, el cilindro ocupa $36\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ y el cono $12\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, aproximadamente 37,70 centímetros cúbicos. Se eleva al cuadrado el radio, se multiplica por la altura y luego se divide entre tres.

10. Esferas y hemisferios

Radio y fórmulas de la esfera

En una esfera, todos los puntos de su superficie están a distancia $r$ del centro. Su diámetro es $2r$, su área es $A=4\pi r^2$ y el volumen encerrado es $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$. La esfera no tiene un desarrollo plano exacto que pueda extenderse sin deformación. Su área equivale a la suma de cuatro discos de radio $r$, aunque esos discos no constituyen un desarrollo.

1. Para radio 3 cm, el cuadrado es $3^2=9$ y el cubo $3^3=27$.
2. Área: $4\pi \times 9=36\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
3. Volumen: ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times 27=36\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.
4. Si duplicas el radio, el área se multiplica por cuatro y el volumen por ocho; ya no se conserva la coincidencia numérica anterior.

La mitad de una esfera incluye una cara de corte

Un hemisferio se obtiene al cortar por un plano que pasa por el centro. Su volumen es la mitad: $V={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3$. Su superficie curva mide $2\pi r^2$, pero el cuerpo cerrado incluye además un disco de área $\pi r^2$. Así, su área total es $3\pi r^2$. Para radio 3 cm, el volumen es $18\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, el área curva $18\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ y el área total $27\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

11. Componer cuerpos y quitar partes

El volumen se suma; la superficie de contacto se oculta

Si dos sólidos se unen sin superponer sus interiores, el volumen total es la suma de sus volúmenes. Para el área exterior, las caras que quedan en contacto no cuentan. Un cilindro de radio 3 cm y altura 6 cm, coronado por un cono del mismo radio y altura 4 cm, ocupa $54\pi +12\pi =66\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.

La generatriz del cono es 5 cm. El lateral cilíndrico aporta $2\pi \times 3\times 6=36\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$; el del cono, $\pi \times 3\times 5=15\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$; la base inferior, $9\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. El total exterior es $60\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Si partes de las áreas de ambos cuerpos cerrados, debes restar dos veces el círculo de contacto, porque aparece una vez en cada cuerpo.

Un hueco resta volumen, pero puede añadir superficie

Para un tubo cilíndrico de radio exterior $R$, radio interior $r$ y longitud $h$, el volumen de material es $V=\pi (R^2-r^2)h$. Se resta el cilindro vacío al externo. Con $R=3$, $r=2$ y $h=10$ cm, resulta $\pi (9-4)\times 10=50\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. El volumen del hueco es $40\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, distinto del material.

En ese tubo, el lateral exterior mide $60\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$, el interior $40\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ y las dos coronas suman $10\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Recubrir todas sus superficies requeriría $110\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$, sin contar pérdidas. Perforar disminuye el volumen de material, pero crea una pared interior; no se obtiene el área restando simplemente las áreas totales de dos cilindros.

12. Cortes y secciones de sólidos

La posición del plano cambia la figura obtenida

La sección es la figura plana producida al cortar un sólido con un plano. Un corte paralelo a la base de un prisma produce una figura congruente con esa base. En una pirámide, un corte paralelo produce una figura semejante, más pequeña si está entre la base y el vértice. En un cilindro recto, un corte paralelo a la base es un círculo; un corte que contiene el eje da un rectángulo. No todos los cortes de un cubo son cuadrados: también pueden aparecer triángulos y otros polígonos.

En una pirámide de altura $H$, una sección paralela situada a distancia $t$ del vértice tiene factor lineal ${\displaystyle \frac{t}{H}}$ respecto de la base. Por semejanza, $A_s=A_b{\left({\displaystyle \frac{t}{H}}\right)}^2$. La pirámide pequeña que queda desde el vértice hasta ese corte tiene volumen $V_s=V{\left({\displaystyle \frac{t}{H}}\right)}^3$. A mitad de altura, ese volumen es un octavo; la parte restante ocupa siete octavos. No se confunde el área del corte con el volumen de una parte.

Cortar una esfera lejos del centro

Un plano que atraviesa una esfera produce una sección circular. Si pasa por el centro, el radio de la sección es el de la esfera; si se aleja, el radio disminuye. Sea $R$ el radio esférico, $d$ la distancia del centro al plano y $r_s$ el radio de sección. Un triángulo rectángulo da $r_s^2+d^2=R^2$. Para $R=5$ y $d=3$, $r_s=\sqrt{25-9}=4$. El área del corte es $16\pi$, con unidades cuadradas.

13. Escalas, semejanza y comparación de envases

Un factor para cada dimensión

Si dos cuerpos son semejantes y sus longitudes correspondientes cambian por un factor $k>0$, sus áreas cambian por $k^2$ y sus volúmenes por $k^3$. Esto ocurre porque un área multiplica dos longitudes y un volumen, tres. Un cubo de arista 2 cm tiene área 24 centímetros cuadrados y volumen 8 centímetros cúbicos. Al duplicar la arista, el área pasa a 96 y el volumen a 64 en sus respectivas unidades.

En una maqueta a escala 1:50, cada longitud real es 50 veces la de la maqueta. Las áreas reales son ${50}^2=2500$ veces mayores y los volúmenes ${50}^3=125000$ veces mayores, siempre comparando la misma unidad. Si un depósito de la maqueta ocupa $8{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, el real ocupa $1000000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3=1{\mathrm{m}}^3$.

Igual volumen no significa igual superficie

Dos cajas pueden contener el mismo volumen y requerir distinto material. Una caja de 6 por 2 por 2 cm ocupa $24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ y tiene área total $2(12+12+4)=56{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Otra de 4 por 3 por 2 cm ocupa también $24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, pero su área es $2(12+8+6)=52{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. No son semejantes: sus longitudes no cambian con un único factor.

14. Coordenadas en tres dimensiones

Una posición necesita tres datos

En un sistema cartesiano tridimensional hay tres ejes perpendiculares, $x$, $y$ y $z$, con un origen común. Un punto se representa mediante $(x,y,z)$. Para ubicar $(3,2,4)$, avanza tres unidades en la dirección de $x$, dos en la de $y$ y cuatro en la de $z$. Los signos negativos indican el sentido contrario al positivo de un eje. El orden de los tres números importa.

En el plano $xy$, todos los puntos tienen $z=0$; en el plano $xz$, $y=0$; y en el plano $yz$, $x=0$. La proyección de $(3,2,4)$ sobre $xy$ es $(3,2,0)$. Su distancia a ese plano es $\mid 4\mid =4$ unidades. El punto medio entre dos puntos se obtiene promediando por separado sus coordenadas.

Distancia recta: Pitágoras dos veces

Entre $A=(x_1,y_1,z_1)$ y $B=(x_2,y_2,z_2)$, calcula los cambios $\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$, $\mathrm{\Delta }y=y_2-y_1$ y $\mathrm{\Delta }z=z_2-z_1$. La distancia horizontal cumple $d_h^2=(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2$. Después incorpora la altura: $d^2=d_h^2+(\mathrm{\Delta }z{)}^2$. Así, $d=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2+(\mathrm{\Delta }z{)}^2}$, con unidades compatibles y la misma escala en los tres ejes.

Para la diagonal interior de una caja rectangular se obtiene $d=\sqrt{l^2+w^2+h^2}$. Las coordenadas también permiten trasladar cuerpos: sumar el mismo vector a todos sus vértices conserva distancias, áreas y volumen. Por ejemplo, sumar $(2,-1,3)$ lleva $(3,2,4)$ a $(5,1,7)$.

15. Otra forma de localizar: coordenadas polares

Distancia al origen y dirección en un plano

Las coordenadas polares describen una posición de un plano mediante $(r,\theta )$: $r$ es la distancia al origen y $\theta$ el ángulo desde el eje horizontal positivo, medido en sentido antihorario en la convención usada aquí. No son por sí solas tres coordenadas espaciales. Sirven para ubicar puntos en una sección circular o en la base de un sólido.

La relación con las coordenadas cartesianas es $x=r\cos \theta$ y $y=r\sin \theta$. Si $r=4$ y $\theta ={60}^{\circ }$, entonces $x=4\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=2$ y $y=4\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$, aproximadamente 3,46. Comprueba que $x^2+y^2=4+12=16=r^2$. Los ángulos separados por una vuelta completa señalan la misma dirección; con radio cero se está en el origen. Si usas calculadora con ángulos en grados, selecciona ese modo.

16. Llenado, empaque y desplazamiento

Relacionar volumen, nivel y tiempo

En un recipiente de sección horizontal constante, el volumen añadido es $\mathrm{\Delta }V=A_b\mathrm{\Delta }h$. Si entra líquido a caudal constante $q$ y no hay salida ni pérdidas, el tiempo es $t={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }V}{q}}$. El volumen que falta se calcula restando el ocupado al deseado; no siempre hay que llenar toda la capacidad.

Comprobar cuántos objetos caben

Para colocar cubos alineados con las paredes, calcula cuántos caben en cada dimensión y multiplica. En una caja interior de 30 por 20 por 10 cm caben cubos de arista 5 cm en ${\displaystyle \frac{30}{5}}=6$ posiciones de largo, ${\displaystyle \frac{20}{5}}=4$ de fondo y ${\displaystyle \frac{10}{5}}=2$ de alto: $6\times 4\times 2=48$. En este caso no sobra espacio.

Dividir el volumen de la caja entre el de una pieza solo da un límite por volumen, no demuestra que las formas encajen. En una caja cúbica de 5 cm, los cubos de 3 cm alineados con las paredes caben uno por dirección: solo uno. El cociente ${\displaystyle \frac{125}{27}}$ es mayor que cuatro, pero el espacio restante no tiene la forma necesaria para colocar cuatro cubos así. Si se permiten otras orientaciones o piezas distintas, hay que analizar la disposición; no se promete un empaque óptimo usando únicamente el volumen.

Medir un sólido irregular mediante agua

Un objeto completamente sumergido desplaza un volumen de agua igual al volumen de la parte sumergida. En un recipiente de paredes verticales y base rectangular de 20 por 10 cm, una subida de 3 cm corresponde a $20\times 10\times 3=600{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. Este método supone que el objeto no absorbe ni se disuelve en el agua, no quedan burbujas y no hay derrame. Si flota o queda parcialmente fuera, el aumento mide solo su parte sumergida.

Ejemplos resueltos paso a paso

Errores frecuentes y cómo evitarlos

Lo que debes recordar

Autoevaluación: cinco preguntas originales

Elige una sola respuesta por pregunta y escribe el procedimiento que la justifica. Consulta las soluciones después de intentar resolverlas.

Pregunta 1

Una caja sin tapa tiene base de 8 cm por 5 cm y altura de 3 cm. Sin espesor, pestañas ni desperdicio, ¿cuál es el área de material?

1. $120{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
2. $158{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
3. $118{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
4. $78{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Pregunta 2

Un recipiente cilíndrico vertical tiene radio interior de 10 cm. El agua sube 5 cm. ¿Qué volumen se añadió?

1. $\mathrm{0,5}\pi \mathrm{L}$
2. $5\pi \mathrm{L}$
3. $50\pi \mathrm{L}$
4. $500\pi \mathrm{L}$

Pregunta 3

Se corta una pirámide por un plano paralelo a la base, a mitad de la distancia entre el vértice y la base. ¿Qué fracción del volumen original ocupa la pirámide pequeña situada junto al vértice?

1. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
2. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$
3. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$
4. ${\displaystyle \frac{1}{8}}$

Pregunta 4

Un cubo de arista 3 cm se amplía a otro semejante de arista 9 cm. ¿Cómo cambian el área total y el volumen?

1. Ambos se multiplican por 3.
2. El área se multiplica por 9 y el volumen por 27.
3. El área se multiplica por 6 y el volumen por 9.
4. El área se multiplica por 27 y el volumen por 9.

Pregunta 5

En coordenadas con la misma unidad en cada eje, $A=(1,2,1)$ y $B=(3,5,7)$. ¿Cuál es su distancia recta?

1. 11 unidades.
2. 49 unidades.
3. 7 unidades.
4. 9 unidades.

Respuestas y explicaciones

Compara cada paso con tu procedimiento y comprueba cómo se descartan las otras opciones.

Pregunta 1: opción C

1. Base: $8\times 5=40{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
2. Dos paredes largas: $2\times 8\times 3=48{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
3. Dos cortas: $2\times 5\times 3=30{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
4. Total: $40+48+30=118{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

C cuenta una base y cuatro paredes. A usa el valor numérico del volumen con unidad equivocada; B incluye una tapa; D solo cuenta las paredes.

Pregunta 2: opción A

1. Área de base: $\pi \times {10}^2=100\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
2. Aumento: $100\pi \times 5=500\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.
3. Divide entre 1000: ${\displaystyle \frac{500\pi }{1000}}=\mathrm{0,5}\pi \mathrm{L}$.
4. Esto equivale aproximadamente a 1,57 L, no a cientos de litros.

A convierte correctamente los centímetros cúbicos a litros. Las otras cantidades aplican factores de conversión incorrectos.

Pregunta 3: opción D

1. El corte paralelo produce una pirámide pequeña semejante a la original.
2. Su factor de longitud es $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. El factor de volumen es ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$.
4. La parte restante ocupa $1-{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$ del volumen original.

D aplica el cubo del factor de semejanza. A confunde longitud con volumen; B corresponde al área de sección; C es la relación entre una pirámide y un prisma de igual base y altura.

Pregunta 4: opción B

1. Factor lineal: $k={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$.
2. Factor de área: $k^2=3^2=9$.
3. Factor de volumen: $k^3=3^3=27$.
4. Comprueba con volúmenes: $3^3=27$ y $9^3=729$; ${\displaystyle \frac{729}{27}}=27$.

B distingue el cuadrado y el cubo del factor lineal. El factor 3 de las aristas no se aplica directamente a áreas ni volúmenes.

Pregunta 5: opción C

1. Cambios: $3-1=2$, $5-2=3$ y $7-1=6$.
2. Suma de cuadrados: $2^2+3^2+6^2=4+9+36=49$.
3. Distancia: $d=\sqrt{49}=7$ unidades.
4. El recorrido por ejes sería $2+3+6=11$, mayor que 7.

C toma la raíz de la suma de los cuadrados. A suma los desplazamientos y obtiene un recorrido por ejes; B omite la raíz; D no corresponde al cálculo.