Álgebra y funciones

Aprenderás a expresar situaciones con letras, resolver ecuaciones e interpretar funciones y gráficas. Usarás estas herramientas para comparar planes, calcular cantidades desconocidas y analizar cambios, explicando cada operación y comprobando si la respuesta tiene sentido en el problema.

1. El lenguaje algebraico: de las palabras a las letras

Variables, constantes y expresiones

El álgebra permite trabajar con cantidades que todavía no conocemos o que pueden cambiar. Una variable es una letra que representa una cantidad: si x es el número de cuadernos, puede tomar distintos valores. Una constante conserva su valor dentro del modelo. Si cada cuaderno cuesta $\mathrm{\$}3000$ y el envío vale $\mathrm{\$}5000$, el costo es $3000x+5000$. El $3000$ expresa pesos por cuaderno y el $5000$, un cobro fijo.

Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones. No afirma una igualdad por sí sola. En $3x+5$, escribir $3x$ significa $3\times x$; no significa el número de dos cifras «$3x$». Los términos se separan por sumas o restas: en $3x-2y+5$ los términos son $3x$, $-2y$ y 5. El coeficiente de $-2y$ es $-2$, incluido su signo. El exponente indica cuántas veces aparece la variable como factor: $x^2=x\times x$.

Traducir sin cambiar el significado

Si x representa una edad, «el doble de esa edad» es $2x$; «cinco años más» es $x+5$; «la mitad» es ${\displaystyle \frac{x}{2}}$. Hay una diferencia entre «el doble de un número más tres», que puede ser ambiguo, y las frases precisas «el doble del número, aumentado en tres» y «el doble de la suma del número y tres». La primera se escribe $2x+3$; la segunda, $2(x+3)$. Antes de operar, aclara qué cantidad modifica cada palabra.

Sustituir y evaluar

Evaluar significa reemplazar cada variable por un valor y calcular. Para $E(x)=2x^2-3x+1$, el símbolo $E(x)$ se lee «E de x»: nombra el valor de la expresión al usar esa entrada. No significa E multiplicado por x. Si $x=-2$, sustituye con paréntesis para conservar el signo.

1. Sustituye: $E(-2)=2(-2{)}^2-3(-2)+1$.
2. Calcula la potencia: $(-2{)}^2=(-2)\times (-2)=4$.
3. Haz los productos: $2\times 4=8$ y $-3\times (-2)=6$.
4. Suma: $8+6+1=15$. Por tanto, $E(-2)=15$.

2. Simplificar, distribuir y factorizar

Reunir términos semejantes

Los términos semejantes tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Por eso $3x$ y $5x$ se suman como tres unidades de x y cinco unidades de x: $3x+5x=8x$. En cambio, $3x$ y $5x^2$ no son semejantes. No puedes reducirlos a $8x^3$: sumar términos no es multiplicar potencias.

1. En $3x+2+5x-7$, agrupa los términos con x y los números: $(3x+5x)+(2-7)$.
2. Suma los coeficientes: $3+5=8$; por eso queda $8x$.
3. Opera las constantes: $2-7=-5$. La expresión simplificada es $8x-5$.
4. Comprueba con $x=2$: la original da $6+2+10-7=11$; la simplificada da $16-5=11$. Esta prueba detecta algunos errores, aunque una sola sustitución no demuestra una identidad para todos los valores.

La propiedad distributiva

Multiplicar una suma exige multiplicar cada término: $a(b+c)=ab+ac$. Así, $3(x+4)=3x+12$, porque el 3 multiplica tanto a x como a 4. Con restas ocurre lo mismo: $-2(x-3)=-2x+6$; el segundo producto es $(-2)\times (-3)=6$. Un signo menos delante de un paréntesis equivale a multiplicar por $-1$: $-(x-4)=-x+4$.

Productos notables y factorización

Un polinomio es una suma de términos con exponentes enteros no negativos de la variable. El grado de un polinomio no nulo es el mayor exponente que queda después de simplificar: $2x^2-3x+1$ es de grado 2; $5x+7$ es de grado 1. Expresiones como ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ o $\sqrt{x}$ no son polinomios en x.

Al multiplicar dos paréntesis, cada término del primero multiplica a cada término del segundo. Por ejemplo, $(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$. Factorizar recorre el camino contrario: escribir una suma como un producto. Para $x^2+5x+6$ buscamos dos números que sumen 5 y multipliquen 6; son 2 y 3. Así se obtienen los factores $(x+2)(x+3)$.

También puedes extraer un factor común: $6x^2+9x=3x(2x+3)$, porque $3x\times 2x=6x^2$ y $3x\times 3=9x$. Dos identidades útiles son $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ y $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. La primera se obtiene desarrollando $(a+b)(a+b)$; la segunda, desarrollando los dos factores y cancelando $ab-ab$. Por ejemplo, $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ y $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

3. Resolver ecuaciones conservando la igualdad

La ecuación como equilibrio

Una ecuación afirma que dos expresiones son iguales para uno o varios valores de una incógnita. Resolverla consiste en encontrar esos valores. En $3x+5=20$, $x=5$ es una solución porque $3\times 5+5=20$. Para mantener ecuaciones equivalentes, aplica la misma suma, resta, multiplicación o división a ambos miembros; solo puedes dividir por una cantidad distinta de cero.

1. Parte de $3x+5=20$. Resta 5 en ambos miembros: $3x+5-5=20-5$.
2. Simplifica: $3x=15$.
3. Divide ambos miembros entre 3: ${\displaystyle \frac{3x}{3}}={\displaystyle \frac{15}{3}}$, así que $x=5$.
4. Sustituye en la ecuación original: $3\times 5+5=15+5=20$. La igualdad se cumple.

Paréntesis, fracciones e incógnita en ambos miembros

En $2(x-3)=x+5$, distribuye primero: $2x-6=x+5$. Resta x en ambos miembros y obtienes $x-6=5$. Suma 6 y resulta $x=11$. Al comprobar, $2(11-3)=16$ y $11+5=16$. La expresión «pasar al otro lado cambiando el signo» resume operaciones; entender qué haces en ambos miembros evita errores.

Si hay denominadores numéricos, puedes multiplicar toda la ecuación por un múltiplo común distinto de cero. En ${\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$, multiplica cada término por 6: $2x+3=5$. Resta 3: $2x=2$. Divide entre 2: $x=1$. La comprobación es ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$.

Una solución, ninguna o infinitas

No toda ecuación termina en un único número. En $2(x+1)=2x+2$, desarrollar y restar $2x$ deja $2=2$: cualquier valor real de x sirve. Es una identidad. En $2(x+1)=2x+5$, el mismo procedimiento deja $2=5$, que es falso: no hay solución. En una ecuación lineal reducida a $ax=b$, si a es distinto de cero existe la solución $x={\displaystyle \frac{b}{a}}$; si $a=0$, debes revisar si b también es cero.

4. Plantear problemas, despejar fórmulas e interpretar desigualdades

De la situación a la ecuación

Antes de escribir símbolos, identifica qué se busca, qué datos hay y qué relación los conecta. Define la incógnita con su unidad: «x es la cantidad de entradas», no solo «x». Si tres entradas iguales y un cargo fijo de $\mathrm{\$}2000$ cuestan $\mathrm{\$}26000$, plantea $3x+2000=26000$, con x en pesos por entrada. Resta $2000$: $3x=24000$. Divide entre 3: $x=8000$. Comprueba que $3\times 8000+2000=26000$.

Despejar es dejar una variable sola en una fórmula. Si $d=vt$ y $v\mathrm{\ne }0$, divide ambos miembros entre v para obtener $t={\displaystyle \frac{d}{v}}$. Si el perímetro de un rectángulo es $P=2L+2A$, resta $2A$ y divide entre 2: $L={\displaystyle \frac{P-2A}{2}}$. Con $P=30\mathrm{m}$ y $A=5\mathrm{m}$, $L={\displaystyle \frac{30-10}{2}}=10\mathrm{m}$. Sustituir da $2\times 10+2\times 5=30\mathrm{m}$.

Inecuaciones: varias respuestas posibles

Una inecuación usa $<$, $>$, $\le$ o $\ge$. Estos símbolos significan «menor que», «mayor que», «menor o igual que» y «mayor o igual que». «Como máximo 30» incluye 30; «menos de 30» lo excluye. Sumar o restar lo mismo conserva el sentido de la desigualdad. Multiplicar o dividir por un número positivo también lo conserva. Al multiplicar o dividir por un número negativo, debes invertir el sentido.

1. Resuelve $-2x+6\le 10$. Resta 6 en ambos miembros: $-2x\le 4$.
2. Divide entre $-2$. Como divides por un negativo, $\le$ cambia a $\ge$: $x\ge -2$.
3. Comprueba el extremo: con $x=-2$, se obtiene $4+6=10$, así que está incluido.
4. Prueba un valor permitido: $x=0$ produce $6\le 10$. Uno excluido, $x=-3$, produce $12\le 10$, que es falso.

El contexto puede reducir el conjunto de soluciones. Si n representa personas, debe ser un entero no negativo. De $n\le \mathrm{3,6}$ se concluye que como máximo hay 3 personas, no $\mathrm{3,6}$ ni 4. Siempre interpreta la solución algebraica en las unidades y condiciones del problema.

5. Sistemas de dos ecuaciones: cumplir dos condiciones a la vez

Qué representa una solución común

Un sistema reúne ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Si $x+y=10$ y $2x+y=14$, una solución es un par ordenado $(x,y)$. No basta acertar una ecuación: el par debe satisfacer las dos. Puedes usar sustitución, dejando una variable en función de la otra, o eliminación, sumando o restando ecuaciones para cancelar una variable.

1. En $x+y=10$, despeja y restando x: $y=10-x$.
2. Sustituye esa expresión en $2x+y=14$: $2x+(10-x)=14$.
3. Reduce términos semejantes: $x+10=14$. Resta 10: $x=4$.
4. Regresa al despeje: $y=10-4=6$.
5. Comprueba las dos condiciones: $4+6=10$ y $2\times 4+6=14$.

Eliminación y lectura gráfica

También puedes restar la primera ecuación de la segunda: $(2x+y)-(x+y)=14-10$. Al distribuir la resta queda $2x+y-x-y=4$; por tanto, $x=4$. Después hallas $y=6$. Si los coeficientes no permiten cancelar una variable, multiplica primero una o ambas ecuaciones por constantes adecuadas.

Gráficamente, dos rectas que se cruzan tienen una solución común. Dos rectas paralelas distintas no tienen ninguna, y dos ecuaciones que representan la misma recta tienen infinitas. Por ejemplo, $x+y=10$ y $2x+2y=20$ son equivalentes. En cambio, $x+y=10$ y $x+y=12$ no pueden cumplirse a la vez.

6. Funciones: entradas, salidas, dominio y rango

Una sola salida para cada entrada

Una función asigna exactamente una salida a cada entrada de su dominio. En $f(x)=2x+1$, la entrada $x=3$ produce $f(3)=2\times 3+1=7$. La letra x es la variable independiente y la salida $y=f(x)$, la dependiente. Dos entradas diferentes pueden compartir una salida: en $f(x)=x^2$, tanto $-2$ como 2 producen 4. Lo que no se permite es asignar dos salidas distintas a una misma entrada en la misma función.

Dominio y rango no son lo mismo

El dominio es el conjunto de entradas permitidas. El rango o recorrido es el conjunto de salidas que realmente se obtienen. Para $f(x)=x^2$ con dominio $\{-2,-1,0,1,2\}$, las salidas son 4, 1, 0, 1 y 4; al reunirlas sin repetir, el rango es $\{0,1,4\}$. Las llaves indican un conjunto, no una operación.

Si $f(x)=x^2$ acepta cualquier número real, el dominio contiene todos los reales y el rango son los números mayores o iguales que cero. Los números reales incluyen enteros, fracciones y cantidades como $\sqrt{2}$. En $\mathrm{g}(x)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$, $x=2$ queda excluido porque anula el denominador. En $h(x)=\sqrt{x-1}$, se exige $x-1\ge 0$, de donde $x\ge 1$, para obtener raíces reales.

El contexto también restringe

Una fórmula de costo $C(n)=3000n$ puede calcularse con $n=\mathrm{2,5}$, pero si n cuenta cuadernos enteros ese valor no pertenece al dominio del problema. Una función puede expresarse con palabras, una fórmula, una tabla, flechas o una gráfica. Para relacionar estas representaciones, conserva siempre el significado de las variables y sus unidades.

7. Leer gráficas: coordenadas, escalas y cambios

Ubicar e interpretar un punto

En el plano cartesiano, el eje horizontal representa normalmente x y el vertical, y. El punto $(2,3)$ indica $x=2$ e $y=3$: desde el origen $(0,0)$, avanza dos unidades a la derecha y tres hacia arriba. En $(-2,1)$, avanzas dos unidades a la izquierda y una hacia arriba. Cambiar el orden cambia el punto: $(2,3)$ no es $(3,2)$.

Antes de extraer datos, identifica la magnitud de cada eje, sus unidades, los valores de las marcas y el intervalo representado. Si una gráfica muestra litros frente a minutos, el punto $(2,80)$ significa que a los dos minutos hay 80 litros. No significa «80 minutos y 2 litros». Un punto sobre el eje horizontal tiene $y=0$; uno sobre el vertical tiene $x=0$.

Crecimiento, decrecimiento e intervalos

Una función es creciente en un intervalo si su salida aumenta al avanzar hacia la derecha; es decreciente si disminuye; es constante si no cambia. El signo de la salida y su tendencia son cosas diferentes: una cantidad puede seguir siendo positiva mientras disminuye. Tampoco debes confundir una gráfica de cantidad con otra de velocidad o tasa.

En una gráfica, una intersección es un punto compartido por dos curvas. Un cero de una función es una entrada donde la salida vale cero. Una función puede tener varios ceros y seguir asignando una sola salida a cada entrada. La prueba de la recta vertical ayuda a reconocer una función: si una vertical corta la gráfica en dos puntos de distinta altura, esa misma x tendría dos salidas y no sería la gráfica de y como función de x.

Puntos aislados, tramos y límites del dibujo

Si las entradas son cantidades enteras de productos, los datos se representan mediante puntos aislados; unirlos puede servir de guía, pero los valores intermedios no pasan a ser posibles por dibujar una línea. Si la magnitud varía continuamente, como el tiempo de vaciado de un tanque, tiene sentido representar los tramos intermedios cuando el modelo los describe. Unir dos datos con una recta supone un cambio constante entre ellos; no es una conclusión automática. Estimar dentro de un intervalo observado es interpolar. Prolongar el comportamiento fuera de él es extrapolar y exige justificar que el modelo sigue siendo adecuado.

8. Funciones lineales y afines: pendiente e intercepto

La fórmula $y=mx+b$

Una función afín tiene la forma $y=mx+b$. El número m es la pendiente: indica cuánto cambia y cuando x aumenta una unidad. El número b es el intercepto con el eje vertical, porque al sustituir $x=0$ se obtiene $y=b$. En este tema llamaremos función lineal de proporcionalidad a $y=mx$, el caso $b=0$. Algunas fuentes usan «lineal» para toda expresión $mx+b$; lo esencial es reconocer si existe un término fijo.

Si conoces dos puntos distintos de una recta, $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, con $x_1\mathrm{\ne }{x}_2$, calcula $m={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$. Los subíndices 1 y 2 solo identifican los puntos. Mantén el mismo orden en ambas restas. Para $(1,3)$ y $(3,7)$, el cambio vertical es $7-3=4$ y el horizontal es $3-1=2$; por tanto, $m={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$.

1. Para hallar la fórmula de esa recta, escribe $y=2x+b$.
2. Usa el punto $(1,3)$: $3=2\times 1+b$. Resta 2 y obtienes $b=1$.
3. La función es $y=2x+1$. Comprueba el otro punto: $2\times 3+1=7$.
4. Para encontrar el corte con el eje horizontal, pon $y=0$: $0=2x+1$. Resta 1 y divide entre 2: $x={\displaystyle \frac{-1}{2}}$. El corte es $(-\mathrm{0,5},0)$.

Signo y unidades de la pendiente

Si $m>0$, la recta sube; si $m<0$, baja; si $m=0$, es horizontal. Una recta vertical no tiene pendiente finita y no representa y como función de x: varias alturas comparten la misma entrada. Si y se mide en pesos y x en artículos, m se mide en pesos por artículo. En un tanque, una pendiente de ${\displaystyle \frac{-20\mathrm{L}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$ significa que el contenido disminuye 20 litros por minuto.

Comparar planes mediante la intersección

Dos planes pueden tener distinto cargo fijo y distinto costo por uso. El plan A cobra $A(n)=6000+2000n$; el B, $B(n)=12000+1000n$. Para averiguar cuándo cuestan lo mismo, iguala las dos expresiones: $6000+2000n=12000+1000n$. Resta $1000n$ y $6000$: $1000n=6000$. Divide entre $1000$: $n=6$. Ambos cuestan $\mathrm{\$}18000$ en ese punto.

No elijas solo por el valor de b ni solo por m. Antes del cruce puede convenir un plan y después el otro. Para comprobarlo, evalúa una cantidad a cada lado: con 2 usos, $A=\mathrm{\$}10000$ y $B=\mathrm{\$}14000$; con 8, $A=\mathrm{\$}22000$ y $B=\mathrm{\$}20000$. La intersección resuelve la igualdad; comparar las expresiones o sus alturas resuelve cuál cuesta menos.

9. Funciones cuadráticas y ecuaciones de segundo grado

La parábola, el vértice y los ceros

Una función cuadrática tiene la forma $f(x)=a{x}^2+bx+c$, con $a\mathrm{\ne }0$. Su gráfica es una parábola. Si $a>0$, abre hacia arriba y tiene un mínimo; si $a<0$, abre hacia abajo y tiene un máximo. El vértice es ese punto extremo y el eje de simetría pasa verticalmente por él. Un coeficiente a de mayor valor absoluto hace la parábola más estrecha, al usar la misma escala.

Para $f(x)=x^2-4x+3$, completa el cuadrado: $x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-1=(x-2{)}^2-1$. Como un cuadrado nunca es negativo, el menor valor se obtiene cuando $x-2=0$. Así, el vértice es $(2,-1)$, el eje de simetría es $x=2$ y el rango es $y\ge -1$. El dominio son todos los reales.

Resolver por factorización

Resolver $f(x)=0$ significa buscar las entradas donde la curva toca o cruza el eje horizontal. Para $x^2-4x+3=0$, busca dos números que sumen $-4$ y multipliquen 3: son $-1$ y $-3$. Entonces $(x-1)(x-3)=0$. Un producto es cero si al menos uno de sus factores es cero: $x-1=0$ o $x-3=0$. Las soluciones son $x=1$ y $x=3$. Comprueba: $1-4+3=0$ y $9-12+3=0$.

No apliques esta propiedad si el producto no está igualado a cero. Tampoco dividas por un factor que puede ser cero: al dividir $x(x-4)=0$ entre x perderías la solución $x=0$. Los dos candidatos correctos son $x=0$ y $x=4$.

La fórmula general y el discriminante

Para $a{x}^2+bx+c=0$, con $a\mathrm{\ne }0$, la fórmula es $x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$. El símbolo $\pm$ indica dos cálculos: uno sumando la raíz y otro restándola. Todo el numerador se divide entre $2a$. El número $D=b^2-4ac$ se llama discriminante: si $D>0$ hay dos soluciones reales distintas; si $D=0$, una solución real doble; si $D<0$, no hay soluciones reales.

En la ecuación de la infografía, $a=2$, $b=-3$ y $c=-2$. Entonces $D=(-3{)}^2-4\times 2\times (-2)=9+16=25$. Como $\sqrt{25}=5$, $x={\displaystyle \frac{3\pm 5}{4}}$ da $x={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$ o $x={\displaystyle \frac{-2}{4}}=-\mathrm{0,5}$. En un problema de longitudes, una solución negativa puede no ser admisible; se rechaza por el contexto, no porque las raíces negativas sean siempre incorrectas.

10. Funciones racionales: cocientes y valores excluidos

Variación inversa

Una función racional es un cociente de polinomios y solo admite entradas que no anulen su denominador. Un caso sencillo es $f(x)={\displaystyle \frac{k}{x}}$, con k distinto de cero. Si $x>0$ y $k>0$, al aumentar x disminuye la salida. El producto $x\times f(x)$ permanece igual a k. Para repartir 12 litros entre x recipientes iguales, cada uno recibe ${\displaystyle \frac{12}{x}}$ litros; en el contexto, x es un entero positivo.

La función matemática ${\displaystyle \frac{12}{x}}$ admite cualquier real excepto cero; su rango también excluye cero. La gráfica tiene dos ramas, una para $x>0$ y otra para $x<0$. Cuando x aumenta mucho en la rama positiva, ${\displaystyle \frac{12}{x}}$ se acerca a cero sin alcanzarlo. La recta $y=0$ es una asíntota horizontal. Al acercarse x a cero por valores positivos, la salida crece sin límite; $x=0$ es una asíntota vertical. Una asíntota describe un comportamiento de aproximación, no un valor que deba sustituirse en la fórmula.

Simplificar sin recuperar valores prohibidos

En $\mathrm{g}(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}$, primero excluye $x=1$. Factoriza el numerador: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Para $x\mathrm{\ne }1$ puedes cancelar el factor $x-1$ y obtienes $\mathrm{g}(x)=x+1$. Pero la expresión original sigue sin estar definida en $x=1$: la gráfica es la recta $y=x+1$ con el punto $(1,2)$ excluido, un «hueco». Su dominio excluye 1 y su rango excluye 2. Cancelar factores no borra las restricciones originales.

11. Funciones exponenciales y logarítmicas

Sumar siempre lo mismo o multiplicar siempre por lo mismo

En un modelo afín, incrementos iguales de la entrada producen diferencias iguales en la salida. En un modelo exponencial, producen razones o factores iguales. Compara $L(n)=10+5n$ y $E(n)=10\times 2^n$. Para $n=0$, 1, 2 y 3, L produce 10, 15, 20 y 25: suma 5 en cada paso. E produce 10, 20, 40 y 80: multiplica por 2. En E, la incógnita está en el exponente; $2^n$ no significa $2n$.

Una función $f(x)=A\times b^x$, con $A>0$, $b>0$ y $b\mathrm{\ne }1$, es creciente si $b>1$ y decreciente si $0<b<1$. A es el valor inicial porque $b^0=1$. Su dominio matemático son los reales y su rango, los positivos. Si el modelo registra periodos completos, el contexto puede restringir la entrada a enteros no negativos. Un aumento del $10\mathrm{\%}$ por periodo usa $b=\mathrm{1,10}$; una disminución del $20\mathrm{\%}$, $b=\mathrm{0,80}$. Los factores se repiten sobre el valor actualizado.

El logaritmo busca el exponente

El logaritmo responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar la base?». La igualdad ${\log }_b(y)=x$ significa $b^x=y$, con $b>0$, $b\mathrm{\ne }1$ e $y>0$. Así, ${\log }_2(8)=3$ porque $2^3=8$; ${\log }_2(1)=0$ porque $2^0=1$; ${\log }_2({\displaystyle \frac{1}{2}})=-1$ porque $2^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. El subíndice indica la base. En la función $y={\log }_b(x)$, el dominio exige $x>0$ y el rango contiene todos los reales.

1. Para resolver $5\times 2^x=40$, divide ambos miembros entre 5: $2^x=8$.
2. Reconoce que $8=2^3$. Por tanto, $x=3$.
3. También puedes escribir $x={\log }_2(8)$: buscas el exponente que transforma la base 2 en el número 8.
4. Comprueba: $5\times 2^3=5\times 8=40$. No se necesitó aproximación.

Exponencial y logaritmo de la misma base son funciones inversas: intercambian entrada y salida. Para argumentos positivos, ${\log }_b(uv)={\log }_b(u)+{\log }_b(v)$, ${\log }_b({\displaystyle \frac{u}{v}})={\log }_b(u)-{\log }_b(v)$ y ${\log }_b(u^r)=r{\log }_b(u)$. Estas propiedades corresponden a productos, cocientes y potencias. No existe una regla general que convierta ${\log }_b(u+v)$ en la suma de dos logaritmos. Por ejemplo, ${\log }_2(2)+{\log }_2(4)=1+2=3$, pero ${\log }_2(2+4)={\log }_2(6)$ no es 3, porque $2^3=8$, no 6.

12. Funciones periódicas y transformaciones de gráficas

Seno, coseno y repetición

Un fenómeno es periódico si repite su comportamiento después de un intervalo fijo. Una vuelta completa mide ${360}^{\circ }$; también equivale a $2\pi$ radianes, donde $\pi$ es aproximadamente $\mathrm{3,1416}$. En una circunferencia de radio 1, el punto alcanzado por un ángulo $\theta$ medido desde el eje horizontal positivo en sentido contrario a las agujas del reloj tiene coordenadas $(\cos \theta ,\mathrm{sen}\theta )$. El coseno es la coordenada horizontal y el seno, la vertical. Este significado permite que ambas funciones se extiendan más allá de los ángulos de un triángulo rectángulo.

En $0^{\circ }$, el punto es $(1,0)$, así que $\cos 0^{\circ }=1$ y $\mathrm{sen}{0}^{\circ }=0$. En ${90}^{\circ }$ es $(0,1)$: $\cos {90}^{\circ }=0$ y $\mathrm{sen}{90}^{\circ }=1$. En ${180}^{\circ }$ es $(-1,0)$, y en ${270}^{\circ }$ es $(0,-1)$. Al completar ${360}^{\circ }$ se vuelve al punto inicial. Por eso seno y coseno repiten sus valores cada ${360}^{\circ }$ o $2\pi$ radianes; su rango es de $-1$ a 1 y aceptan cualquier ángulo real.

En $y=A\mathrm{sen}(Bx)+D$, sin desplazamiento horizontal y con A y B distintos de cero, la amplitud es $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$, la distancia desde la línea media hasta un extremo. La línea media es $y=D$. El periodo es ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}$ si x se mide en grados, o ${\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}$ si se mide en radianes. En $y=3\mathrm{sen}(2x)+5$, la amplitud es 3, la línea media es 5, el rango va de $5-3=2$ a $5+3=8$ y el periodo es ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{2}}={180}^{\circ }$.

La tangente se define como $\tan \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\theta }{\cos \theta }}$. Excluye los ángulos donde $\cos \theta =0$: ${90}^{\circ }+{180}^{\circ }k$, con k entero. Su periodo es ${180}^{\circ }$ y su rango son todos los reales. A diferencia del seno y el coseno, no tiene una amplitud finita. Antes de interpretar una gráfica trigonométrica o usar una calculadora, comprueba si el ángulo está en grados o radianes.

Trasladar, reflejar y cambiar la escala

A partir de $y=f(x)$, sumar un número fuera de la función cambia la altura: $f(x)+k$ sube la gráfica k unidades si $k>0$. Reemplazar x por $x-h$ desplaza la gráfica h unidades a la derecha si $h>0$. En cambio, $-f(x)$ refleja las alturas respecto del eje horizontal. Multiplicar por 2, como en $2f(x)$, duplica cada salida sin duplicar las entradas.

Para entender el desplazamiento horizontal, busca dónde se anula la expresión interior. En $(x-2{)}^2$, el cuadrado es cero cuando $x=2$, no cuando $x=-2$. En $(x+2{)}^2$ se anula cuando $x=-2$. Por eso el signo interior puede parecer contrario al desplazamiento. Comprueba con un punto conocido en lugar de memorizar una dirección sin justificarla.

13. Sucesiones y una primera idea de límite

Una función cuyo índice cuenta posiciones

Una sucesión ordena números por posiciones: $a_1$, $a_2$, $a_3$… El subíndice n indica la posición, no una multiplicación. Debes saber si se empieza en $n=0$ o en $n=1$. Una sucesión aritmética tiene diferencia constante d: $a_n=a_1+(n-1)d$. En 5, 8, 11, $14\dots$, el primer término es 5 y la diferencia es 3; $a_4=5+(4-1)\times 3=5+9=14$.

Una sucesión geométrica multiplica por una razón constante r: $a_n=a_1{r}^{n-1}$. En 3, 6, 12, $24\dots$, $a_1=3$ y $r=2$. Para el quinto término, $a_5=3\times 2^4=3\times 16=48$. El exponente $n-1$ cuenta cuántos saltos hay desde el primer término: para llegar a la posición 5 se hacen cuatro multiplicaciones.

Acercarse a un valor sin tener que alcanzarlo

Decir que una sucesión tiene límite L significa que, al avanzar suficientemente en sus posiciones, sus términos se acercan tanto como se quiera a L y permanecen cerca. En $a_n=({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^n$, para $n=1$, 2, 3 y 4 se obtiene $\mathrm{0,5}$; $\mathrm{0,25}$; $\mathrm{0,125}$ y $\mathrm{0,0625}$. Cada término es la mitad del anterior, así que se aproxima a cero. Ningún término es cero: acercarse y ser igual son afirmaciones distintas.

Cuando $-1<r<1$, las potencias $r^n$ tienden a cero; si r es negativo, alternan de signo mientras se aproximan. Una sucesión no siempre tiene un límite real finito: 1, 2, 3, $4\dots$ crece sin cota, mientras que 1, $-1$, 1, $-1\dots$ oscila sin acercarse a un único valor. Observar pocos términos sugiere un patrón, pero no demuestra que siga para siempre: para justificarlo necesitas una regla o información del problema.

Ejemplos resueltos paso a paso

Errores frecuentes y cómo evitarlos

Lo que debes recordar

Autoevaluación: cinco preguntas originales

Elige una sola respuesta por pregunta y escribe el procedimiento que la justifica. Consulta las soluciones después de intentar resolverlas.

Pregunta 1

Un servicio cobra un valor fijo más una tarifa constante por kilómetro. Un recorrido de $2\mathrm{k}\mathrm{m}$ cuesta $\mathrm{\$}7000$ y uno de $6\mathrm{k}\mathrm{m}$, $\mathrm{\$}13000$. Si x es la distancia en kilómetros, ¿qué fórmula describe el costo?

1. $C(x)=3500x$
2. $C(x)=1500x+4000$
3. $C(x)=6000x+7000$
4. $C(x)=1500x+7000$

Pregunta 2

Una compra tiene un envío fijo de $\mathrm{\$}5000$ y cada unidad cuesta $\mathrm{\$}1500$. Hay un presupuesto máximo de $\mathrm{\$}25000$. ¿Cuál es la mayor cantidad de unidades enteras que se puede comprar?

1. 10
2. 12
3. 14
4. 13

Pregunta 3

Una estudiante analiza $f(x)=(x-3{)}^2-4$ para todos los números reales. ¿Cuál afirmación está justificada?

1. Su valor mínimo es $-4$ y se alcanza cuando $x=3$.
2. Su valor mínimo es 3 y se alcanza cuando $x=-4$.
3. Su rango contiene únicamente números positivos.
4. La expresión no es una función porque tiene dos ceros.

Pregunta 4

Un taller utiliza 18 vehículos entre bicicletas y carros. Contando solo las ruedas de circulación, hay 48 ruedas. Cada bicicleta tiene 2 y cada carro, 4. ¿Cuántos carros hay?

1. 3
2. 12
3. 6
4. 9

Pregunta 5

Una cantidad vale 50 en el instante 0, 100 tras el primer periodo y 200 tras el segundo. El enunciado indica que se duplica en cada periodo. ¿Cuál será su valor al terminar el tercero?

1. 350
2. 400
3. 450
4. 500

Respuestas y explicaciones

Compara cada paso con tu procedimiento y comprueba cómo se descartan las otras opciones.

Pregunta 1: opción B

1. El aumento de costo es $13000-7000=6000$ pesos; el de distancia es $6-2=4\mathrm{k}\mathrm{m}$.
2. La pendiente es ${\displaystyle \frac{6000}{4}}=1500$ pesos por kilómetro.
3. En $C(x)=1500x+b$, usa el primer recorrido: $7000=1500\times 2+b$. Por tanto, $b=4000$.
4. Comprueba el segundo dato: $C(6)=9000+4000=13000$.

La opción B reproduce ambos datos. Dividir un costo total por su distancia confunde el cargo fijo con la tarifa variable. Las demás fórmulas no satisfacen simultáneamente los dos recorridos.

Pregunta 2: opción D

1. Plantea $5000+1500n\le 25000$, con n entero no negativo.
2. Resta $5000$: $1500n\le 20000$. Divide entre $1500$: $n\le {\displaystyle \frac{40}{3}}=\mathrm{13,333}\dots$
3. El mayor entero permitido es 13.
4. Con 13 se pagan $5000+19500=24500$; con 14, $5000+21000=26000$. Solo el primero respeta el límite.

La opción D respeta el presupuesto y la condición de unidades enteras. Redondear $\mathrm{13,333}\dots$ a 14 excedería el dinero disponible; 10 y 12 son posibles, pero no son el máximo.

Pregunta 3: opción A

1. El cuadrado $(x-3{)}^2$ siempre es mayor o igual que cero.
2. Su menor valor, cero, se alcanza al resolver $x-3=0$, es decir, $x=3$.
3. Entonces $f(3)=0-4=-4$. El vértice es $(3,-4)$ y el rango cumple $y\ge -4$.
4. Para verificar la última opción, $(x-3{)}^2=4$ da $x=1$ o $x=5$. Ambas entradas producen una única salida, cero; no contradicen la definición de función.

La opción A identifica el vértice. Un valor mínimo negativo es posible. Tener dos ceros significa que dos entradas distintas producen cero, lo cual sí está permitido en una función.

Pregunta 4: opción C

1. Sea c el número de carros y b el de bicicletas: $c+b=18$ y $4c+2b=48$.
2. Multiplica la primera ecuación por 2: $2c+2b=36$.
3. Resta esta igualdad de la segunda: $2c=12$. Divide entre 2: $c=6$.
4. Entonces $b=18-6=12$. Comprueba las ruedas: $4\times 6+2\times 12=24+24=48$.

La opción C satisface las dos condiciones. La cantidad 12 corresponde a las bicicletas, no a los carros. Los demás valores no permiten obtener simultáneamente 18 vehículos y 48 ruedas.

Pregunta 5: opción B

1. La razón entre términos consecutivos es ${\displaystyle \frac{100}{50}}=2$ y ${\displaystyle \frac{200}{100}}=2$.
2. El modelo es $N(n)=50\times 2^n$, con $n=0$ al inicio.
3. En el tercer periodo, $N(3)=50\times 2^3=50\times 8=400$.
4. Comprueba el paso desde el segundo: $200\times 2=400$. No se suma siempre la misma cantidad; se repite el mismo factor.

La opción B conserva el factor de duplicación. El patrón está especificado en el enunciado; observar solo tres valores, sin una regla, no determinaría una única continuación posible.