Estadística y probabilidad

Aprenderás a organizar datos, interpretar gráficos, comparar promedios y medir la dispersión. También calcularás probabilidades, distinguirás situaciones con y sin reposición y evaluarás conclusiones basadas en muestras. Cada procedimiento explicará qué se cuenta, por qué se elige una operación y cómo comprobar el resultado.

1. Población, muestra y variables

Definir a quiénes se quiere estudiar

La población es el conjunto completo de personas, objetos o casos sobre el que se plantea una pregunta. La muestra es el subconjunto que se observa. Si un colegio tiene 600 estudiantes y se encuesta a 60, la población son los 600 y la muestra son los 60 encuestados. La unidad estadística es cada estudiante. Un censo observa toda la población; una encuesta por muestreo observa solo una parte.

Una característica calculada para toda la población es un parámetro; la calculada con una muestra es un estadístico. Describir lo observado no es lo mismo que generalizarlo: que 36 de los 60 encuestados prefieran cierta actividad no prueba que exactamente 360 de los 600 estudiantes la prefieran. Esa cifra sería una estimación que depende de cómo se eligió la muestra.

Reconocer qué tipo de dato se recoge

Una variable cualitativa describe categorías: el medio de transporte es nominal porque no tiene un orden natural; un nivel de satisfacción —bajo, medio, alto— es ordinal. Una variable cuantitativa discreta cuenta valores separados, como el número de hermanos. Una cuantitativa continua mide una magnitud que puede tomar valores intermedios, como el tiempo de desplazamiento.

2. Organizar datos y calcular frecuencias

Contar sin perder observaciones

La frecuencia absoluta de un valor cuenta cuántas veces aparece. La frecuencia relativa divide ese recuento entre el total de observaciones. Para obtener el porcentaje, se multiplica la frecuencia relativa por 100. Usaremos una encuesta a 20 estudiantes sobre libros leídos durante un mes: 2 no leyeron libros, 6 leyeron uno, 8 leyeron dos y 4 leyeron tres.

1. Comprueba el total: $n=2+6+8+4=20$.
2. Para dos libros, la frecuencia absoluta es $f=8$. Divide entre todos los encuestados: ${\displaystyle \frac{8}{20}}=\mathrm{0,4}$.
3. Convierte a porcentaje: $\mathrm{0,4}\times 100=40$. El 40 % de los estudiantes leyó dos libros.
4. Repite con las otras categorías: 10 %, 30 % y 20 %. La suma es $10+30+40+20=100$ %.

Acumular cuando existe un orden

La frecuencia acumulada suma los recuentos hasta un valor incluido. Hasta un libro hay $2+6=8$ estudiantes; hasta dos, $2+6+8=16$. Por eso el 80 % leyó como máximo dos: ${\displaystyle \frac{16}{20}}=\mathrm{0,8}$. En cambio, al menos dos reúne las categorías dos y tres: $8+4=12$ estudiantes, el 60 %. Las palabras “como máximo”, “menos de” y “al menos” deciden qué valores se incluyen.

3. Elegir y leer el gráfico adecuado

Barras para comparar categorías

Un gráfico de barras compara recuentos o porcentajes de categorías. Lee el título, los ejes y la unidad antes de mirar las alturas. En una elección de un solo club por estudiante, 12 eligen ajedrez, 18 música, 6 robótica y 4 teatro. La barra de música llega a 18: representa estudiantes, no un 18 %.

El total es $12+18+6+4=40$. Música reúne ${\displaystyle \frac{18}{40}}=\mathrm{0,45}$, es decir, el 45 %. Supera a ajedrez en $18-12=6$ estudiantes. La diferencia se calcula restando; la proporción se calcula dividiendo.

Sectores para partes de un mismo total

Un gráfico circular reparte el total en sectores. El círculo completo representa 100 % y mide ${360}^{\circ }$. Para convertir una frecuencia en ángulo, calcula $\theta ={\displaystyle \frac{f}{n}}\times {360}^{\circ }$. Ajedrez representa ${\displaystyle \frac{12}{40}}=\mathrm{0,3}$, y su ángulo es $\mathrm{0,3}\times {360}^{\circ }={108}^{\circ }$. Música ocupa ${162}^{\circ }$, robótica ${54}^{\circ }$ y teatro ${36}^{\circ }$.

Líneas para observar cambios en el tiempo

Un gráfico de líneas conecta observaciones ordenadas, por ejemplo asistencia mensual. La posición horizontal identifica el momento; la vertical, la cantidad. Una subida indica aumento, una bajada disminución y un tramo horizontal ausencia de cambio entre los datos registrados. No supone que se conozcan todas las observaciones intermedias.

Histogramas para datos agrupados en intervalos

Un histograma representa una variable cuantitativa agrupada en intervalos contiguos. Aquí los tiempos de llegada se agrupan en intervalos de 10 minutos: de 0 incluido a 10 excluido, de 10 a 20, de 20 a 30 y de 30 a 40. Los recuentos son 4, 8, 6 y 2. El dato 10 pertenece al segundo intervalo, de modo que nunca se cuenta dos veces.

4. Detectar comparaciones engañosas

Revisar el origen y los intervalos del eje

Si dos grupos tienen 40 y 50 participantes, el segundo tiene $50-40=10$ más. En relación con el primero, el aumento es ${\displaystyle \frac{10}{40}}=\mathrm{0,25}$, un 25 %. Si el dibujo recorta el eje y lo inicia en 30, las barras visibles miden 10 y 20 unidades: parecen tener una relación de dos a uno aunque los datos reales no la tengan. Los números del eje permiten descubrirlo.

También comprueba si el eje avanza de diez en diez o de cien en cien, si hay cortes y si un pictograma representa una o varias personas. Agrandar el alto y el ancho de un icono a la vez multiplica su área; eso puede exagerar la comparación. En un gráfico de líneas un eje recortado puede ayudar a ver cambios pequeños, pero debe señalarse y leerse con cuidado.

Comparar porcentajes con el denominador adecuado

En el grupo A aprueban 30 de 50 estudiantes; en el B, 40 de 100. B tiene más aprobados en número, pero A tiene mayor proporción: ${\displaystyle \frac{30}{50}}=60$ % frente a ${\displaystyle \frac{40}{100}}=40$ %. La diferencia es 20 puntos porcentuales. El 60 % es un 50 % mayor que el 40 %, porque ${\displaystyle \frac{60-40}{40}}=\mathrm{0,5}$. No son la misma forma de comparar.

5. Media, mediana y moda

La media reparte el total por igual

La media aritmética suma los valores y divide entre su cantidad: $\bar{x}={\displaystyle \frac{\sum x_i}{n}}$. El símbolo $\sum$ significa sumar. Para 2, 3, 3, 5 y 7 libros, el total es $2+3+3+5+7=20$. Hay cinco observaciones; por eso $\bar{x}={\displaystyle \frac{20}{5}}=4$ libros. La media describe un reparto equivalente; no exige que alguna persona tenga exactamente cuatro libros.

La mediana ocupa el centro después de ordenar

La mediana localiza el centro de los datos ordenados. Con una cantidad impar, usa la posición ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$. En 2, 3, 3, 5 y 7, la tercera observación es 3. Si la cantidad es par, promedia las dos observaciones centrales: en 2, 3, 5 y 8 son 3 y 5, de modo que la mediana es ${\displaystyle \frac{3+5}{2}}=4$. No promedies la primera y la última.

La moda identifica lo más frecuente

La moda es el valor o categoría que más se repite. En 2, 3, 3, 5 y 7 es 3. En 1, 1, 2, 2 y 4 hay dos modas, 1 y 2: la distribución es bimodal. En este tema diremos que no hay moda cuando todos los valores aparecen una sola vez. La moda sí permite resumir categorías, como el club preferido; la media no sirve para promediar nombres de clubes.

Un valor extremo afecta especialmente a la media

Compara 2, 3, 3, 5, 7 con 2, 3, 3, 5, 27. Solo cambió el último dato. La suma pasa de 20 a 40 y la media, de 4 a 8; la mediana y la moda siguen siendo 3. La mediana puede describir mejor el centro cuando existe mucha asimetría o un dato extremo, pero ninguna medida resume por sí sola toda la distribución.

6. Promedios ponderados y datos agrupados

Dar a cada dato el peso que le corresponde

En una media ponderada, cada valor tiene un peso. Se calcula $\bar{x}={\displaystyle \frac{\sum w_i{x}_i}{\sum w_i}}$. Si una nota de 3,0 vale el 20 %, una de 4,0 el 30 % y una de 4,5 el 50 %, los pesos decimales suman 1. Multiplica cada nota por su peso: $\mathrm{3,0}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,6}$, $\mathrm{4,0}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{1,2}$ y $\mathrm{4,5}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{2,25}$. La suma es 4,05.

Para combinar medias de grupos, usa como pesos sus tamaños. Un grupo de 10 estudiantes con media 4 y otro de 30 con media 3 tienen suma de notas $10\times 4+30\times 3=130$. La media conjunta es ${\displaystyle \frac{130}{40}}=\mathrm{3,25}$, no 3,5. Promediar directamente 4 y 3 solo sería válido si ambos grupos tuvieran el mismo tamaño.

Usar frecuencias sin reconstruir toda la lista

En la encuesta de libros, cada valor se multiplica por su frecuencia. Hay $0\times 2=0$, $1\times 6=6$, $2\times 8=16$ y $3\times 4=12$ libros, para un total de 34. La media es ${\displaystyle \frac{34}{20}}=\mathrm{1,7}$ libros por estudiante. Para la mediana busca las posiciones 10 y 11 en las frecuencias acumuladas: ambas corresponden a dos libros. La mediana y la moda son 2.

Estimar cuando solo se conocen intervalos

Si solo conservas los intervalos de un histograma, ya no conoces cada dato exacto. La marca de clase es el punto medio del intervalo. Multiplicar cada marca por su frecuencia permite estimar la media, suponiendo que esa marca representa a las observaciones del grupo.

1. Calcula las marcas: por ejemplo, ${\displaystyle \frac{10+20}{2}}=15$ minutos para el segundo intervalo.
2. Multiplica por los recuentos: $5\times 4=20$, $15\times 8=120$, $25\times 6=150$ y $35\times 2=70$.
3. Suma: $20+120+150+70=360$. Divide entre $4+8+6+2=20$ personas.
4. La estimación es ${\displaystyle \frac{360}{20}}=18$ minutos. Identifícala como aproximada porque se usaron marcas en lugar de tiempos individuales.

7. Medir cuánto se separan los datos

La misma media puede ocultar distribuciones distintas

El rango es máximo menos mínimo. Los grupos 4, 4, 4, 4 y 2, 2, 6, 6 tienen media 4. Sin embargo, el primero tiene rango $4-4=0$ y el segundo $6-2=4$. Para comparar resultados no basta mirar el promedio: también importa cuánto se alejan los valores del centro.

Varianza y desviación estándar

La varianza utiliza todos los datos: calcula la distancia de cada uno a la media, eleva esas diferencias al cuadrado y las promedia. Los cuadrados evitan que las diferencias positivas y negativas se cancelen. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y recupera las unidades originales.

1. Considera que los cuatro tiempos 2, 2, 6 y 6 minutos constituyen toda la población que se quiere describir. Su media es $\mu ={\displaystyle \frac{16}{4}}=4$ minutos.
2. Para cada tiempo de 2 minutos, resta $2-4=-2$. Para cada tiempo de 6 minutos, resta $6-4=2$. Las cuatro diferencias son −2, −2, 2 y 2.
3. Eleva al cuadrado y suma: $(-2{)}^2+(-2{)}^2+2^2+2^2=16$.
4. Divide entre los cuatro datos: la varianza poblacional es ${\sigma }^2={\displaystyle \frac{16}{4}}=4{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2$.
5. Extrae la raíz: $\sigma =\sqrt{4}=2\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$. Es una medida de dispersión, no el tiempo promedio.

La fórmula poblacional es ${\sigma }^2={\displaystyle \frac{\sum (x_i-\mu {)}^2}{N}}$. Si los datos son una muestra usada para estimar la varianza de una población, se emplea habitualmente la varianza muestral corregida: $s^2={\displaystyle \frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$, con $n>1$. Para los mismos cuatro números, sería $s^2={\displaystyle \frac{16}{3}}$. El divisor depende del propósito y de lo que pida el enunciado; no se alternan las fórmulas sin explicarlo.

8. Cuartiles, percentiles y diagramas de caja

Dividir una lista ordenada en partes

Los cuartiles describen posiciones cercanas al 25 %, 50 % y 75 % de una distribución. En este tema calcularemos el segundo cuartil como la mediana; el primero como la mediana de la mitad inferior y el tercero como la mediana de la mitad superior. Si hay una cantidad impar de datos, excluiremos la mediana general de las dos mitades. Es una convención explícita; otros métodos pueden dar resultados distintos en muestras pequeñas.

1. Ordena los ocho datos: 2, 4, 4, 6, 10, 12, 12, 14.
2. La mediana general es $Q_2={\displaystyle \frac{6+10}{2}}=8$.
3. La mitad inferior es 2, 4, 4, 6: $Q_1={\displaystyle \frac{4+4}{2}}=4$. La superior es 10, 12, 12, 14: $Q_3={\displaystyle \frac{12+12}{2}}=12$.
4. El rango intercuartílico es $RIC=Q_3-Q_1=12-4=8$. Describe la amplitud entre los cuartiles centrales y depende menos de los extremos que el rango total.

Leer una caja sin confundir posición y cantidad

En el diagrama de caja mostrado, la caja va del primer al tercer cuartil; la línea interior señala la mediana. Los bigotes llegan aquí al mínimo y al máximo. Algunos diagramas usan otro criterio para los bigotes y dibujan los valores atípicos por separado: hay que leer la leyenda. Una caja más larga indica un rango intercuartílico mayor, no necesariamente más personas.

Calcular un percentil con una regla declarada

Un percentil señala una posición en los datos ordenados, no un porcentaje de respuestas correctas. Para el siguiente ejemplo usaremos la regla de rango más próximo: calcula $r=\lceil {\displaystyle \frac{k}{100}}n\rceil$ para $0<k\le 100$ y toma el dato en la posición $r$. Los símbolos $\lceil \rceil$ indican redondear hacia arriba. Esta regla no es la misma que la de medianas de mitades usada antes para los cuartiles.

Para 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100 puntos, $r=\lceil \mathrm{0,8}\times 10\rceil =8$, de modo que $P_{80}=80$ puntos. Si se pidiera el percentil 85, $r=\lceil \mathrm{8,5}\rceil =9$ y resultaría 90 puntos. Con empates, la proporción situada estrictamente por debajo puede ser menor que el porcentaje indicado. Sigue siempre el método y la definición que dé el problema.

9. Relación entre dos variables

Leer una nube de puntos

En un diagrama de dispersión, cada punto reúne dos datos de una misma unidad: por ejemplo, horas de práctica y ejercicios completados por una persona. Una tendencia ascendente sugiere asociación positiva; una descendente, negativa. Si la nube no sigue una dirección lineal clara, la asociación lineal puede ser débil. No unas los puntos como si describieran obligatoriamente una secuencia temporal.

El coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, toma valores entre $-1$ y $1$, siempre que ambas variables tengan variación. Cerca de 1 indica asociación lineal positiva fuerte; cerca de −1, negativa fuerte. Un valor cercano a 0 indica poca asociación lineal, pero puede existir una relación curva. Si todos los valores de una variable son iguales, ese coeficiente no está definido.

Una asociación no demuestra una causa

Que dos cantidades aumenten juntas no demuestra que una produzca la otra. En días calurosos pueden crecer tanto la venta de helados como la asistencia a piscinas: la temperatura influye en ambas. También pueden intervenir selección de la muestra, coincidencias o una relación en sentido inverso. Para sostener una explicación causal hace falta un diseño y evidencia adicionales.

10. Muestreo, estimación y margen de error

El tamaño no corrige una selección sesgada

Una muestra de conveniencia incluye a quienes resultan más fáciles de contactar; una encuesta voluntaria incluye a quienes deciden responder. Ambas pueden representar mal a la población. Preguntar solo en un club de lectura sobre hábitos lectores puede sobreestimar la lectura del colegio. Aumentar mucho esa misma muestra no elimina el sesgo de selección.

En un muestreo aleatorio simple de tamaño fijo, todas las muestras posibles de ese tamaño tienen la misma probabilidad de ser elegidas. En uno estratificado, se divide la población en grupos y se selecciona dentro de cada grupo. Si tres grados tienen 300, 200 y 100 estudiantes, una muestra proporcional de 60 reserva $60\times {\displaystyle \frac{300}{600}}=30$, $60\times {\displaystyle \frac{200}{600}}=20$ y $60\times {\displaystyle \frac{100}{600}}=10$ lugares. Dentro de cada grado debe seguirse un método de selección adecuado.

Distinguir estimación, incertidumbre y sesgo

Una muestra puede dar una estimación distinta de otra aun si ambas se seleccionan correctamente: es la variabilidad muestral. Supón que 104 de 200 encuestados apoyan una propuesta. La proporción observada es ${\displaystyle \frac{104}{200}}=\mathrm{0,52}$, el 52 %. Si el informe proporciona un margen de error de 4 puntos porcentuales, el intervalo indicado va de $52-4=48$ % a $52+4=56$ %.

No se puede afirmar una mayoría poblacional con claridad basándose solo en ese intervalo, porque incluye el 50 %. Si el informe habla de un 95 % de confianza, ese nivel describe el procedimiento: al repetir muchas veces el muestreo y construir intervalos del mismo modo, aproximadamente el 95 % contendría el valor poblacional, bajo las condiciones del método. No significa que el 95 % de las personas tenga la característica estudiada.

11. Conjuntos: pertenencia, unión e intersección

Colocar primero la zona compartida

Un conjunto reúne elementos que cumplen una condición. El universo $U$ contiene todos los casos considerados. La intersección $A\cap B$ reúne los que pertenecen a ambos conjuntos. La unión $A\cup B$ reúne los que están en A, en B o en ambos. El complemento $A^c$ contiene los que no están en A, dentro del universo.

En un curso de 30 estudiantes, 18 practican fútbol, 12 baloncesto y 6 ambos. No se suman directamente 18 y 12 para hallar cuántos practican algún deporte: los seis de ambos se contarían dos veces.

1. Coloca los 6 de ambos deportes en la intersección.
2. Solo fútbol: $18-6=12$. Solo baloncesto: $12-6=6$.
3. Al menos uno: $12+6+6=24$, o bien $18+12-6=24$.
4. Ninguno: $30-24=6$. Comprueba todas las regiones: $12+6+6+6=30$.

La inclusión no significa igualdad

La expresión $B\subseteq A$ significa que todo elemento de B pertenece también a A. Entre los enteros del 1 al 8, los múltiplos de 4 forman $B=\{4,8\}$, incluido en el conjunto de pares $A=\{2,4,6,8\}$. En ese caso, $A\cap B=B$ y $A\cup B=A$. Ser par no obliga a ser múltiplo de 4.

12. Contar posibilidades sin enumerarlas todas

Sumar alternativas y multiplicar etapas

El principio de suma combina alternativas que no se superponen: si para un viaje eliges una de tres rutas de bus o una de dos rutas de tren, hay $3+2=5$ opciones de ruta. El principio de producto combina etapas: si eliges una camiseta entre tres y un pantalón entre dos, hay $3\times 2=6$ conjuntos, siempre que cada camiseta pueda combinarse con cualquiera de los pantalones.

Distinguir orden y repetición

Para asignar presidencia y secretaría a dos de cuatro personas distintas, hay 4 opciones para el primer cargo y 3 para el segundo: $4\times 3=12$. El orden importa porque Ana presidenta y Beto secretario no es la misma asignación que Beto presidente y Ana secretaria. Para elegir un equipo sin cargos, ambas listas representan el mismo grupo.

El factorial se define como $n!=n(n-1)\cdots 1$ para enteros positivos y $0!=1$. Ordenar cuatro personas en fila da $4!=24$. Elegir y ordenar dos de cuatro sin repetición da ${\displaystyle \frac{4!}{(4-2)!}}=12$. Con repetición permitida, un código de tres posiciones y cuatro símbolos disponibles tiene $4^3=64$ posibilidades; esto supone que cualquier símbolo puede ocupar cualquier posición.

Combinaciones: elegir sin dar cargos

Para elegir un grupo de $k$ elementos entre $n$, sin repetición y sin importar el orden, se usa $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$. En equipos de dos entre cuatro personas, el recuento ordenado da 12, pero cada pareja aparece dos veces. Divide por $2!=2$: quedan $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)=6$ equipos.

13. Experimentos aleatorios y espacios muestrales

Definir resultados elementales

Un experimento aleatorio tiene resultados posibles conocidos, pero no permite asegurar cuál ocurrirá en una realización. El espacio muestral, $\mathrm{\Omega }$, contiene todos los resultados elementales. Un suceso es un subconjunto de esos resultados. Al lanzar dos monedas distinguibles, el espacio es $\{CC,CS,SC,SS\}$, con C para cara y S para sello. “Exactamente una cara” reúne CS y SC.

Cuando los resultados elementales son equiprobables, $P\left(A\right)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}$. Así, exactamente una cara tiene probabilidad ${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Si los resultados no son igualmente probables, contar y dividir no basta: hay que conocer o estimar sus probabilidades.

Las sumas de dos dados no son equiprobables

Al lanzar dos dados equilibrados e independientes, hay $6\times 6=36$ pares ordenados equiprobables. La suma 7 tiene seis pares favorables: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1). Por eso $P\left(\text{suma }7\right)={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. La suma 12 solo aparece con (6,6), con probabilidad ${\displaystyle \frac{1}{36}}$. No dividas entre las once sumas posibles suponiendo que todas ocurren igual.

Probabilidad teórica y frecuencia experimental

La probabilidad teórica procede de un modelo. La frecuencia relativa experimental divide las veces que ocurre un suceso entre el número de ensayos. Obtener 12 caras en 20 lanzamientos da ${\displaystyle \frac{12}{20}}=\mathrm{0,6}$, aunque el modelo de moneda equilibrada asigne ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ a cara. Bajo repeticiones independientes con probabilidad constante, las frecuencias tienden a estabilizarse cerca de esa probabilidad al aumentar mucho los ensayos; no están obligadas a coincidir en una muestra finita.

14. Complemento, unión y sucesos incompatibles

Probabilidades entre cero y uno

Toda probabilidad cumple $0\le P\left(A\right)\le 1$. El suceso seguro tiene probabilidad 1 y el imposible, 0. En un espacio finito con resultados elementales equiprobables, la suma de todas sus probabilidades es 1. Si obtienes 1,2 o −0,3 al calcular una probabilidad, revisa el modelo y las operaciones.

El complemento permite calcular lo que no sucede: $P\left(A^c\right)=1-P\left(A\right)$. Si una bolsa contiene ocho fichas igualmente seleccionables, tres naranjas y cinco azules, $P\left(\text{naranja}\right)={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Entonces $P\left(\text{no naranja}\right)=1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$, que coincide con contar directamente las cinco azules.

Sumar sin contar dos veces la intersección

La regla general de la unión es $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$. En el curso de 30 estudiantes, la probabilidad de elegir al azar a alguien que practique fútbol o baloncesto es ${\displaystyle \frac{18}{30}}+{\displaystyle \frac{12}{30}}-{\displaystyle \frac{6}{30}}$, es decir, ${\displaystyle \frac{24}{30}}=\mathrm{0,8}$. Se resta la intersección una sola vez porque al sumar se había contado dos veces.

Dos sucesos son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en el mismo ensayo: $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$. En un único lanzamiento de dado, sacar 1 y sacar 6 son incompatibles, así que la probabilidad de uno u otro es ${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. En cambio, “número par” y “número mayor que 4” sí se superponen en el 6.

15. Probabilidad condicionada: cambiar el grupo de referencia

El dato conocido reduce el espacio de comparación

La probabilidad de A dado que ocurrió B se escribe $P(A\mid B)$. Si $P\left(B\right)>0$, se calcula $P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}}$. Con personas igualmente seleccionables, equivale a dividir el número que cumple ambas condiciones entre el número que cumple B. La barra vertical se lee “dado que”; no es una división entre los nombres A y B.

1. En el curso de 30, define A como practicar fútbol y B como practicar baloncesto. Hay 6 en ambos y 12 en B.
2. La condición “practica baloncesto” fija el denominador en 12. Por tanto, $P(A\mid B)={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. La probabilidad de practicar ambos, sin información previa, usa los 30: $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{6}{30}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$.
4. Invertir la condición cambia el denominador: $P(B\mid A)={\displaystyle \frac{6}{18}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. No es lo mismo preguntar fútbol entre quienes juegan baloncesto que baloncesto entre quienes juegan fútbol.

Usar la regla del producto general

Despejando la fórmula anterior, $P(A\cap B)=P\left(B\right)P(A\mid B)$. En el ejemplo, ${\displaystyle \frac{12}{30}}\times {\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{6}{30}}$. También puedes escribir $P\left(A\right)P(B\mid A)$. Esta regla funciona sin exigir independencia; la segunda probabilidad ya incorpora la condición de la primera.

16. Independencia, reposición y árboles de probabilidad

La independencia mantiene la probabilidad

Dos sucesos son independientes cuando conocer uno no cambia la probabilidad del otro. Si $P\left(A\right)>0$, esto se expresa como $P(B\mid A)=P\left(B\right)$, equivalente a $P(A\cap B)=P\left(A\right)P\left(B\right)$. “Independientes” no significa “incompatibles”: sucesos incompatibles con probabilidades positivas no son independientes, porque al ocurrir uno el otro se vuelve imposible.

En una bolsa hay tres fichas azules y dos naranjas. Se elige una ficha al azar, se devuelve y se mezcla de nuevo antes de otra extracción con el mismo procedimiento. Con este modelo, la composición sigue siendo tres y dos en la segunda extracción; la reposición permite mantener las probabilidades.

1. La probabilidad de azul en la primera extracción es ${\displaystyle \frac{3}{5}}$. Con reposición y nueva mezcla, la de azul en la segunda sigue siendo ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.
2. Para dos azules, multiplica: ${\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{9}{25}}$.
3. Para colores diferentes hay dos caminos: azul-naranja y naranja-azul. Cada uno tiene probabilidad ${\displaystyle \frac{6}{25}}$.
4. Suma los caminos: ${\displaystyle \frac{6}{25}}+{\displaystyle \frac{6}{25}}={\displaystyle \frac{12}{25}}$. No son el mismo resultado ordenado, aunque ambos cumplen la condición de colores diferentes.

Sin reposición, la bolsa cambia

Si no devuelves la primera ficha, quedan cuatro. Después de sacar una azul quedan dos azules y dos naranjas; después de sacar una naranja quedan tres azules y una naranja. Las probabilidades de la segunda extracción dependen del primer resultado.

1. Para dos azules sin reposición, calcula ${\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$.
2. Para azul-naranja: ${\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{6}{20}}$. Para naranja-azul: ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{6}{20}}$.
3. Para colores diferentes, suma ${\displaystyle \frac{6}{20}}+{\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{12}{20}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$.
4. Comprueba todos los caminos: ${\displaystyle \frac{6}{20}}+{\displaystyle \frac{6}{20}}+{\displaystyle \frac{6}{20}}+{\displaystyle \frac{2}{20}}=1$.

17. Repeticiones: al menos uno y exactamente varios

El complemento simplifica “al menos uno”

Al lanzar dos veces un dado equilibrado de forma independiente, “al menos un seis” incluye exactamente un seis y dos seises. Su complemento es “ningún seis”. Cada lanzamiento tiene probabilidad ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ de no mostrar seis; los dos juntos, ${\displaystyle \frac{5}{6}}\times {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{25}{36}}$. Restando al total, la probabilidad buscada es $1-{\displaystyle \frac{25}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}$.

“Exactamente un seis” es otra pregunta: hay cinco casos con seis solo en el primer dado y cinco con seis solo en el segundo, para un total de diez. Su probabilidad es ${\displaystyle \frac{10}{36}}$. La diferencia con “al menos uno” es el caso (6,6).

Contar éxitos en ensayos independientes

Un ensayo de Bernoulli clasifica cada resultado como éxito o no éxito, sin que “éxito” signifique necesariamente algo deseable. Si repetimos un número fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito, el número de éxitos sigue un modelo binomial. Estas condiciones son necesarias; extraer fichas sin reposición no mantiene, en general, una probabilidad constante.

1. Para exactamente dos caras en tres lanzamientos, elige sus posiciones: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)=3$.
2. Cada secuencia con dos caras y un sello tiene probabilidad ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{8}}$.
3. Las tres secuencias son incompatibles. Multiplica el número de secuencias por la probabilidad de cada una: $3\times {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$.

En general, si X cuenta éxitos en $n$ ensayos y la probabilidad de éxito es $p$, se usa $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$. La combinación cuenta las posiciones de los éxitos; las potencias representan la probabilidad de una secuencia. Aquí $n=3$, $k=2$ y $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$. No hace falta memorizar la fórmula sin comprender esas dos partes.

18. Valor esperado e interpretación de resultados

Promediar resultados usando sus probabilidades

Una variable aleatoria asigna un número a cada resultado de un experimento. En una actividad se extrae al azar una de seis tarjetas: tres valen 0 puntos, dos valen 3 y una vale 6. La variable X es el número de puntos obtenidos. Las probabilidades de 0, 3 y 6 son, respectivamente, 1/2, 1/3 y 1/6.

1. Comprueba que las probabilidades cubren todos los resultados: ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}=1$.
2. Multiplica cada valor por su probabilidad: $0\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=0$, $3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=1$ y $6\times {\displaystyle \frac{1}{6}}=1$.
3. Suma las contribuciones: $E(X)=0+1+1=2$ puntos. La expresión general es $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_i)$.
4. Si se repite 100 veces con reposición y el mismo mecanismo, el total esperado es $100\times 2=200$ puntos. El total real puede ser distinto.

Terminar con una conclusión que responda a la pregunta

Un cálculo estadístico requiere interpretación: precisa la población, la unidad y lo que permite afirmar. En probabilidad, identifica el experimento, el suceso y las condiciones del modelo. Comprueba si el resultado está en un rango razonable, si se ha contado algún caso dos veces y si se ha confundido una estimación con una garantía.

Ejemplos resueltos paso a paso

Errores frecuentes y cómo evitarlos

Lo que debes recordar

Autoevaluación: cinco preguntas originales

Elige una sola respuesta por pregunta y escribe el procedimiento que la justifica. Consulta las soluciones después de intentar resolverlas.

Pregunta 1

En un grupo, 5 estudiantes leyeron cero libros, 10 leyeron uno y 5 leyeron tres. ¿Cuántos libros leyó en promedio cada estudiante?

1. $1$
2. $\mathrm{1,25}$
3. ${\displaystyle \frac{4}{3}}$
4. ${\displaystyle \frac{5}{3}}$

Pregunta 2

La lista ordenada es 2, 4, 4, 6, 10, 12, 12, 14. Usando medianas de mitades para los cuartiles, ¿qué afirmación es correcta?

1. La mediana es 6 y el rango intercuartílico es 8.
2. La mediana es 8 y el rango intercuartílico es 12.
3. La mediana es 8 y el rango intercuartílico es 8.
4. La mediana es 4 y el rango intercuartílico es 12.

Pregunta 3

De 40 estudiantes, 24 usan biblioteca, 18 usan laboratorio y 12 usan ambos. Se elige uniformemente al azar entre quienes usan laboratorio. ¿Cuál es la probabilidad de que también use biblioteca?

1. ${\displaystyle \frac{3}{10}}$
2. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
3. ${\displaystyle \frac{3}{5}}$
4. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

Pregunta 4

Una bolsa tiene cuatro fichas rojas y dos azules. Se extraen dos al azar sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

1. ${\displaystyle \frac{2}{5}}$
2. ${\displaystyle \frac{4}{9}}$
3. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$
4. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

Pregunta 5

Una encuesta voluntaria en el club de lectura de un colegio obtiene 500 respuestas y concluye que el 90 % de todo el colegio lee cada día. ¿Cuál es la objeción mejor fundamentada?

1. Con 500 respuestas la conclusión es necesariamente representativa.
2. La selección puede favorecer a quienes ya leen mucho; un tamaño grande no elimina ese sesgo.
3. Una encuesta solo es válida si responde exactamente la mitad del colegio.
4. El 90 % es imposible porque ninguna muestra puede superar el 50 %.

Respuestas y explicaciones

Compara cada paso con tu procedimiento y comprueba cómo se descartan las otras opciones.

Pregunta 1: opción B

1. El total de estudiantes es $5+10+5=20$.
2. El total de libros es $0\times 5+1\times 10+3\times 5=25$.
3. Divide libros entre estudiantes: ${\displaystyle \frac{25}{20}}=\mathrm{1,25}$.
4. La mediana es 1 porque las posiciones 10 y 11 corresponden a un libro, pero esa es otra medida.

La opción B usa las frecuencias. La opción A corresponde a la mediana y a la moda, pero no a la media; C promedia los tres valores distintos sin ponderarlos; D omite a quienes leyeron cero al contar personas y cambia el grupo de referencia.

Pregunta 2: opción C

1. Los centrales de la lista son 6 y 10: la mediana es ${\displaystyle \frac{6+10}{2}}=8$.
2. La mitad inferior tiene mediana 4 y la superior, 12.
3. El rango intercuartílico es $12-4=8$.
4. El rango total es $14-2=12$, que no es lo solicitado.

La opción C distingue mediana, rango intercuartílico y rango total. A toma solo uno de los datos centrales; B usa el rango total como si fuera el intercuartílico; D confunde el primer cuartil con la mediana.

Pregunta 3: opción D

1. La condición restringe la selección a los 18 estudiantes que usan laboratorio.
2. Entre ellos, 12 también usan biblioteca.
3. Calcula ${\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
4. Los otros 6 usuarios de laboratorio no usan biblioteca; ${\displaystyle \frac{12}{18}}+{\displaystyle \frac{6}{18}}=1$.

La opción D usa el grupo condicionado de 18 usuarios de laboratorio. A calcula la probabilidad de ambos entre todos; B invierte la condición; C calcula la proporción de usuarios de biblioteca en todo el grupo.

Pregunta 4: opción A

1. La primera roja tiene probabilidad ${\displaystyle \frac{4}{6}}$.
2. Si se retira una roja, quedan tres rojas entre cinco fichas: la segunda tiene probabilidad condicionada ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.
3. Multiplica: ${\displaystyle \frac{4}{6}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{12}{30}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.
4. Comprueba por parejas sin orden: hay $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)=6$ parejas rojas y $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)=15$ parejas posibles; ${\displaystyle \frac{6}{15}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.

La opción A actualiza tanto el total como las rojas disponibles. B corresponde a devolver la primera ficha y repetir de forma independiente; C cuenta solo la primera extracción; D reduce las rojas pero mantiene incorrectamente seis fichas en la segunda.

Pregunta 5: opción B

1. La población de interés es todo el colegio, pero la encuesta se concentra en un club relacionado con la conducta estudiada.
2. Además, responder es voluntario: quienes participan pueden diferir de quienes no lo hacen.
3. Las 500 respuestas describen al grupo que respondió; no corrigen automáticamente la selección.
4. Para generalizar harían falta un diseño que cubra la población y una valoración de su incertidumbre y posibles sesgos.

La opción B identifica el problema de selección y el salto de la muestra a toda la población. A confunde cantidad con representatividad; C inventa un requisito de tamaño; D atribuye a los porcentajes un límite que no existe.