Geometría plana

Aprenderás a interpretar figuras y planos, calcular ángulos, perímetros y áreas, y usar semejanza y triángulos para hallar medidas desconocidas. Aplicarás estas ideas a terrenos, pisos, recorridos y escalas, justificando cada operación y comprobando las unidades y el resultado.

1. Leer una figura antes de calcular

Puntos, rectas y segmentos

La geometría plana estudia figuras sobre una superficie de dos dimensiones. Un punto indica una posición; una recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos; una semirrecta tiene un origen y continúa en un sentido. Un segmento tiene dos extremos y una longitud finita. Si los extremos se llaman A y B, el segmento se escribe $\overline{AB}$ y su longitud puede indicarse como $AB=5\mathrm{c}\mathrm{m}$. Las flechas de un dibujo permiten distinguir una recta de un segmento.

Paralelismo, perpendicularidad y marcas

Dos rectas distintas de un mismo plano son paralelas si no se cortan; escribimos $r\parallel s$. Son perpendiculares si se cortan formando ángulos rectos, de ${90}^{\circ }$; escribimos $r\perp s$. Un pequeño cuadrado marca un ángulo recto. Las rayitas iguales sobre segmentos indican longitudes iguales, y las flechas iguales sobre rectas pueden indicar paralelismo.

2. Ángulos y rectas que se cruzan

Medir una abertura

Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas con un origen común, llamado vértice. Su medida no aumenta por dibujar más largos sus lados. Una vuelta completa mide ${360}^{\circ }$, media vuelta ${180}^{\circ }$ y un cuarto de vuelta ${90}^{\circ }$. Un ángulo agudo es menor que ${90}^{\circ }$ y mayor que cero; uno obtuso está entre ${90}^{\circ }$ y ${180}^{\circ }$; uno llano mide ${180}^{\circ }$.

Dos ángulos son complementarios si suman ${90}^{\circ }$ y suplementarios si suman ${180}^{\circ }$; no tienen que estar juntos. Por ejemplo, el complemento de ${35}^{\circ }$ es ${90}^{\circ }-{35}^{\circ }={55}^{\circ }$. Al cruzarse dos rectas, los ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes que forman una recta suman ${180}^{\circ }$.

Una transversal corta dos paralelas

Una transversal es una recta que corta otras rectas. Cuando corta dos paralelas, los ángulos correspondientes, situados en la misma posición relativa en los dos cruces, son iguales. Los alternos internos, dentro de la franja y en lados opuestos de la transversal, también son iguales. Los interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

1. Si un ángulo agudo mide ${60}^{\circ }$, su correspondiente mide también ${60}^{\circ }$.
2. Su adyacente sobre una línea recta mide ${180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$.
3. Los opuestos por el vértice repiten esas medidas. En cada cruce hay dos ángulos de ${60}^{\circ }$ y dos de ${120}^{\circ }$.
4. La suma alrededor del punto es ${60}^{\circ }+{120}^{\circ }+{60}^{\circ }+{120}^{\circ }={360}^{\circ }$.

3. Triángulos: lados, ángulos y alturas

Clasificar y comprobar si puede existir

Un triángulo tiene tres lados y tres vértices. Por sus lados, es equilátero si los tres son iguales, isósceles si tiene al menos dos iguales y escaleno si todos son distintos. En esta clasificación inclusiva, un equilátero también cumple la condición de isósceles. Por sus ángulos, es acutángulo si todos son agudos, rectángulo si uno es recto y obtusángulo si uno es obtuso.

Los ángulos interiores de cualquier triángulo suman ${180}^{\circ }$. Si dos miden ${48}^{\circ }$ y ${67}^{\circ }$, el tercero es ${180}^{\circ }-{48}^{\circ }-{67}^{\circ }={65}^{\circ }$. En un isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales; en un equilátero, los tres miden ${60}^{\circ }$. Un ángulo exterior formado al prolongar un lado equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes, porque completa ${180}^{\circ }$ con el interior vecino.

La desigualdad triangular exige que cada lado sea menor que la suma de los otros dos. Basta verificar que el lado mayor es menor que la suma de los dos menores, siempre que todas las longitudes sean positivas. Con 3, 4 y 8 cm no se puede formar un triángulo, porque $3+4<8$. Con 3, 4 y 7 cm tampoco: $3+4=7$ deja los segmentos alineados. Con 3, 4 y 5 cm sí se cumple $3+4>5$.

Base y altura forman una pareja

Cualquier lado puede elegirse como base. Su altura es la distancia perpendicular desde el vértice opuesto a la recta que contiene esa base. No siempre coincide con un lado del triángulo. En un triángulo obtuso puede caer fuera de la figura; por eso se prolonga la recta de la base. Si cambias la base, debes usar la altura correspondiente.

4. Cuadriláteros y polígonos

Reconocer propiedades y familias

Un cuadrilátero tiene cuatro lados. Un paralelogramo tiene dos pares de lados opuestos paralelos; sus lados opuestos tienen igual longitud. Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados iguales. El cuadrado reúne ambas condiciones: es rectángulo y rombo a la vez. Un rectángulo puede tener lados contiguos de distinta longitud; no supongas que es un cuadrado.

En este tema llamaremos trapecio al cuadrilátero con exactamente un par de lados opuestos paralelos; estos son sus bases. Existen convenciones que incluyen los paralelogramos dentro de los trapecios: para resolver un problema, identifica siempre qué lados son paralelos. Las diagonales unen vértices no consecutivos y no forman parte del contorno.

Polígonos regulares y suma de ángulos

Un polígono es una figura cerrada cuyo contorno está formado por segmentos. Es regular si todos sus lados y todos sus ángulos interiores son iguales; tener solo lados iguales no basta, como muestra un rombo que no sea cuadrado. Un polígono es convexo si ningún ángulo interior supera ${180}^{\circ }$. En los polígonos simples de este tema, los lados no se cruzan.

Un polígono convexo de $n$ lados puede dividirse desde un vértice en $n-2$ triángulos. Por eso la suma de sus ángulos interiores es $S=(n-2)\times {180}^{\circ }$. Un cuadrilátero suma ${360}^{\circ }$; un hexágono suma $(6-2)\times {180}^{\circ }={720}^{\circ }$. Si el hexágono es regular, cada ángulo interior mide ${\displaystyle \frac{{720}^{\circ }}{6}}={120}^{\circ }$.

La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo, tomando uno por vértice y recorriendo el contorno en el mismo sentido, es ${360}^{\circ }$. En un polígono regular, cada exterior mide ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}}$. Así, un hexágono regular tiene exteriores de ${60}^{\circ }$, que completan ${180}^{\circ }$ con sus interiores de ${120}^{\circ }$.

5. Perímetro y longitud de la circunferencia

Recorrer todo el borde

El perímetro es la longitud total del contorno. Para hallarlo, suma todos los tramos de la frontera exterior una sola vez, con la misma unidad. En un rectángulo de largo $l$ y ancho $w$, $P=2l+2w=2(l+w)$; en un cuadrado de lado $s$, $P=4s$. Las diagonales y las líneas de división interiores no se suman al perímetro.

1. En la figura en L, el tramo horizontal interior mide 3 m y la altura del entrante, 2 m. El tramo superior que queda mide $8-3=5\mathrm{m}$.
2. El lateral derecho mide $6-2=4\mathrm{m}$.
3. Suma los seis tramos de la frontera: $P=8+4+3+2+5+6=28\mathrm{m}$.
4. La suma de horizontales es $8+3+5=16$ m y la de verticales $4+2+6=12$ m; juntas confirman 28 m.

Distinguir círculo y circunferencia

La circunferencia es la línea curva que rodea la figura; el círculo incluye su interior. El radio $r$ va del centro a la circunferencia. El diámetro $d$ une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, y $d=2r$. Una cuerda también une dos puntos de la circunferencia, pero no tiene que pasar por el centro. Una tangente la toca en un punto y es perpendicular al radio trazado hasta ese punto.

La longitud de una circunferencia es $C=2\pi r=\pi d$. El número $\pi$, aproximadamente $\mathrm{3,1416}$, es la razón entre esa longitud y el diámetro. Con radio 3 cm, el diámetro es 6 cm y la longitud es $6\pi \mathrm{c}\mathrm{m}$, aproximadamente $\mathrm{18,85}\mathrm{c}\mathrm{m}$. Mantén $\pi$ en la respuesta exacta y aproxima solo al final si se pide.

6. Área de rectángulos y paralelogramos

Contar unidades cuadradas

El área mide cuánto ocupa una superficie. Una unidad cuadrada es un cuadrado de lado una unidad: por ejemplo, $1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Un rectángulo de 6 cm por 4 cm contiene cuatro filas de seis cuadrados de un centímetro de lado. Por eso $A=6\times 4=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. En general, $A=b\times h$, donde $b$ es la base y $h$, la altura perpendicular.

Para un cuadrado, base y altura miden lo mismo: $A=s^2$. Si conoces su área y buscas el lado, usas la raíz cuadrada positiva. Por ejemplo, si $A=49{\mathrm{m}}^2$, el lado mide $s=\sqrt{49}=7\mathrm{m}$, y su perímetro es $4\times 7=28\mathrm{m}$.

Reacomodar conserva el área

Un paralelogramo tiene la misma área que un rectángulo de igual base y altura. Puedes cortar un triángulo de un extremo y trasladarlo al otro, sin añadir ni quitar superficie. Por eso $A=b\times h$ sigue siendo válida aunque sus lados estén inclinados. El lado inclinado no sustituye a la altura.

7. Área de triángulos y trapecios

La mitad de un paralelogramo

Dos copias de un mismo triángulo pueden formar un paralelogramo con la misma base y altura. Cada copia ocupa la mitad, de modo que $A={\displaystyle \frac{b\times h}{2}}$. Esto vale para triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos. La altura siempre debe corresponder a la base elegida.

1. Para una base de 8 cm y altura de 5 cm, calcula primero el área del rectángulo: $8\times 5=40{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
2. El triángulo ocupa la mitad: $A={\displaystyle \frac{40}{2}}=20{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
3. Si conocieras el área y la base, despejarías $h={\displaystyle \frac{2A}{b}}$. Aquí $h={\displaystyle \frac{2\times 20}{8}}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, lo que comprueba la altura.

Promediar las bases del trapecio

En un trapecio, $B$ y $b$ representan las longitudes de las dos bases paralelas; $h$ es la distancia perpendicular entre ellas. Su área es $A={\displaystyle \frac{(B+b)h}{2}}$. Para entenderla, junta dos copias del trapecio: forman un paralelogramo de base $B+b$ y altura $h$. Una sola copia ocupa la mitad. También puedes interpretar ${\displaystyle \frac{B+b}{2}}$ como la base promedio.

Con bases de 8 cm y 4 cm, y altura de 3 cm, suma primero $8+4=12$, multiplica $12\times 3=36$ y divide ${\displaystyle \frac{36}{2}}=18{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. La fórmula usa la altura, no los lados oblicuos. Como comprobación, el área queda entre $4\times 3=12$ y $8\times 3=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

8. Rombos, polígonos regulares y figuras compuestas

Usar diagonales o dividir en triángulos

Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en sus puntos medios. Si sus longitudes completas son $D$ y $d$, dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos. Al sumar sus áreas se obtiene $A={\displaystyle \frac{D\times d}{2}}$. Con diagonales de 8 cm y 6 cm, $A={\displaystyle \frac{8\times 6}{2}}=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. No confundas las diagonales completas con sus mitades.

En un polígono regular, la apotema es la distancia perpendicular desde el centro hasta un lado. Al unir el centro con los vértices se forman triángulos cuya altura es la apotema $a$. Si el perímetro es $P$, sumar sus áreas da $A={\displaystyle \frac{Pa}{2}}$. No sustituyas la apotema por el radio hasta un vértice; son segmentos diferentes. La fórmula también puede usarse en otros polígonos con la misma distancia del centro a todos los lados, pero no se aplica a un polígono cualquiera sin comprobarlo.

En un hexágono regular de lado 4 cm, el perímetro es $P=6\times 4=24\mathrm{c}\mathrm{m}$. Si la apotema mide $2\sqrt{3}\mathrm{c}\mathrm{m}$, su área es $A={\displaystyle \frac{24\times 2\sqrt{3}}{2}}=24\sqrt{3}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$, aproximadamente $\mathrm{41,57}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. El factor 2 de la apotema se cancela con la división entre 2; no se elimina la raíz.

Sumar partes o quitar un recorte

Una figura compuesta puede dividirse en partes conocidas que no se superpongan. Suma sus áreas. Si resulta más sencillo completar una figura grande, calcula su área y resta los huecos. Dibuja una división y anota qué representa cada medida; no uses fórmulas con longitudes que pertenecen a piezas diferentes.

1. El rectángulo completo tiene $8\times 6=48{\mathrm{m}}^2$.
2. El recorte tiene $3\times 2=6{\mathrm{m}}^2$.
3. La superficie restante es $48-6=42{\mathrm{m}}^2$.
4. Comprueba con otra división: una franja inferior de $8\times 4=32$ y otra superior de $5\times 2=10$ suman $32+10=42{\mathrm{m}}^2$.

Una línea dibujada para dividir el área no se convierte en una frontera exterior. Al volver al perímetro, recorre únicamente el contorno que corresponda al objeto que se quiere cercar o bordear.

9. Área del círculo, sectores y arcos

Del radio al área

El área de un círculo es $A=\pi r^2$. Al dividirlo en muchos sectores delgados y alternarlos, se obtiene una figura cada vez más parecida a un rectángulo de base $\pi r$ y altura $r$. Esta reorganización explica el producto $\pi r\times r$; el dibujo con pocas piezas es solo una aproximación visual.

Con radio 4 cm, eleva primero al cuadrado: $4^2=16$. Después multiplica por $\pi$: $A=16\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Si el dato fuera el diámetro de 8 cm, primero dividirías entre dos para hallar el radio. Usar el diámetro como si fuera el radio multiplicaría el área por cuatro.

Tomar una fracción de la vuelta

Un sector circular está limitado por dos radios y un arco. Si su ángulo central mide $\theta$ grados, representa la fracción ${\displaystyle \frac{\theta }{{360}^{\circ }}}$ de la vuelta completa. Por ello, su área es $A_s={\displaystyle \frac{\theta }{{360}^{\circ }}}\pi r^2$ y la longitud de su arco es $L={\displaystyle \frac{\theta }{{360}^{\circ }}}2\pi r$. Estas fórmulas usan el ángulo en grados.

1. Con $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ y $\theta ={90}^{\circ }$, la fracción es ${\displaystyle \frac{90}{360}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
2. Área: $A_s={\displaystyle \frac{1}{4}}\times 16\pi =4\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
3. Arco: $L={\displaystyle \frac{1}{4}}\times 8\pi =2\pi \mathrm{c}\mathrm{m}$.
4. Perímetro de este sector: $P=(2\pi +4+4)\mathrm{c}\mathrm{m}=(2\pi +8)\mathrm{c}\mathrm{m}$. El arco solo no cierra la figura.

Para una corona circular, resta el círculo interior al exterior: $A=\pi (R^2-r^2)$, con $R>r$. No calcules $\pi (R-r{)}^2$: el grosor de la franja no es el radio de un círculo con igual superficie.

10. Unidades, recubrimientos y franjas

El factor de área se eleva al cuadrado

Las longitudes se expresan en unidades como cm o m; las áreas, en ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ o ${\mathrm{m}}^2$. Como $1\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$, un cuadrado de un metro de lado tiene $100\times 100=10000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Por tanto, $1{\mathrm{m}}^2=10000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. No se multiplica solo por 100 al convertir metros cuadrados a centímetros cuadrados.

Para pasar $\mathrm{2,4}{\mathrm{m}}^2$ a centímetros cuadrados, calcula $\mathrm{2,4}\times 10000=24000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. En sentido contrario, $35000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2=\mathrm{3,5}{\mathrm{m}}^2$. Una hectárea equivale a $10000{\mathrm{m}}^2$, el área de un cuadrado de 100 m de lado. Un kilómetro cuadrado equivale a $1000000{\mathrm{m}}^2$, es decir, 100 hectáreas.

Interpretar el material necesario

Para cubrir una superficie con piezas, divide el área por el área de cada pieza como primer cálculo. El resultado exacto de piezas utilizables también depende de si pueden cortarse y aprovecharse los recortes, del diseño y de las juntas. Si solo se venden piezas enteras, cualquier fracción adicional exige comprar otra. No añadas un porcentaje de desperdicio a menos que el enunciado lo indique.

En un camino de ancho uniforme alrededor de un rectángulo, la dimensión exterior crece por ambos lados. Si el camino mide 1 m de ancho, el largo exterior aumenta 2 m y el ancho exterior también aumenta 2 m. El área del camino es la diferencia entre las superficies exterior e interior.

1. Área exterior: $10\times 8=80{\mathrm{m}}^2$.
2. Área del jardín: $8\times 6=48{\mathrm{m}}^2$.
3. Área del camino: $80-48=32{\mathrm{m}}^2$.
4. No basta multiplicar el perímetro interior, 28 m, por 1 m: obtendrías 28 metros cuadrados y faltarían las cuatro esquinas de un metro cuadrado cada una.

11. El teorema de Pitágoras

Reconocer catetos e hipotenusa

En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo de ${90}^{\circ }$ son los catetos. El lado opuesto es la hipotenusa, siempre el más largo. Si los catetos miden $a$ y $b$, y la hipotenusa $c$, el teorema de Pitágoras afirma $a^2+b^2=c^2$. La igualdad compara las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados.

1. Con catetos de 3 cm y 4 cm, calcula $c^2=3^2+4^2=9+16=25$.
2. Aplica la raíz positiva: $c=\sqrt{25}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$. La longitud no es 25 cm.
3. Comprueba que 5 es mayor que cada cateto y que $3+4>5$.

Hallar un cateto y verificar un ángulo recto

Si conoces la hipotenusa y un cateto, despeja el otro: $a=\sqrt{c^2-b^2}$. La resta aparece al quitar $b^2$ de ambos miembros. Con hipotenusa 10 m y cateto 6 m, $a=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\mathrm{m}$. No restes directamente $10-6$: las longitudes no se relacionan así.

También puedes reconocer un triángulo rectángulo: si sus longitudes positivas forman un triángulo y el cuadrado del lado mayor coincide con la suma de los otros dos cuadrados, el ángulo opuesto al lado mayor es recto. Por ejemplo, $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$. La coincidencia debe comprobarse con los datos, no deducirse de la apariencia del dibujo.

12. Congruencia, semejanza y teorema de Tales

Igual forma y correspondencia de lados

Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño; una puede trasladarse, girarse o reflejarse para coincidir con la otra. Son semejantes si conservan la forma: sus ángulos correspondientes son iguales y sus longitudes correspondientes guardan una misma razón. Correspondiente significa que ocupa el mismo papel en ambas figuras, aunque una esté girada.

Para demostrar semejanza de triángulos basta comprobar dos ángulos correspondientes iguales (AA); el tercero queda fijado por la suma de ${180}^{\circ }$. También sirven tres pares de lados proporcionales (LLL) o dos pares de lados proporcionales con el ángulo comprendido igual (LAL). Comparar solo un lado no demuestra semejanza. Para congruencia, LLL usa lados iguales, LAL usa dos lados iguales y el ángulo comprendido igual, y ALA usa dos ángulos y el lado comprendido iguales.

Una paralela produce triángulos semejantes

Si una recta corta dos lados de un triángulo y es paralela al tercero, forma un triángulo pequeño semejante al original. Esta es una aplicación del teorema de Tales. Si D está en AB, E en AC y $DE\parallel BC$, entonces ${\displaystyle \frac{AD}{AB}}={\displaystyle \frac{AE}{AC}}={\displaystyle \frac{DE}{BC}}$. Los numeradores se refieren al triángulo pequeño y los denominadores, al completo.

En la figura, $AD=3$, $AB=6$ y $BC=8$. La razón pequeño/grande es ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, así que $DE=8\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=4$. No confundas la longitud completa AB con el tramo restante DB. También se cumple ${\displaystyle \frac{AD}{DB}}={\displaystyle \frac{AE}{EC}}$, pero esta es otra comparación: partes correspondientes, no parte frente al total.

Las sombras permiten usar semejanza cuando los objetos son verticales sobre el mismo suelo horizontal y los rayos del sol pueden considerarse paralelos en el lugar y el instante observados. Si las mediciones corresponden a horas diferentes o a suelos con distinta inclinación, esa justificación puede dejar de ser válida.

13. Escalas y efecto de una ampliación

Relacionar plano y realidad

Una escala $1:200$ significa que una unidad del plano representa 200 de las mismas unidades en la realidad. Antes de comparar, unifica las unidades. La longitud real se obtiene multiplicando la del plano por 200; la del plano, dividiendo la real entre 200. La escala se aplica a longitudes, no directamente a áreas.

1. Una pared mide $\mathrm{3,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$ en el plano. Multiplica: $\mathrm{3,5}\times 200=700\mathrm{c}\mathrm{m}$.
2. Convierte a metros: ${\displaystyle \frac{700}{100}}=7\mathrm{m}$.
3. Comprueba en sentido inverso: $7\mathrm{m}=700\mathrm{c}\mathrm{m}$ y ${\displaystyle \frac{700}{200}}=\mathrm{3,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Longitudes por k; áreas por k al cuadrado

El factor de escala $k$ se calcula como longitud nueva dividida entre su longitud original correspondiente. En figuras semejantes, todas las longitudes y los perímetros se multiplican por $k$, pero las áreas se multiplican por $k^2$. En un rectángulo, esto se ve al multiplicar sus dos dimensiones: $(kb)(kh)=k^{2}bh$. La misma regla se extiende a las figuras semejantes.

Si una ampliación usa $k=3$, un perímetro de 10 cm pasa a 30 cm y un área de 12 centímetros cuadrados pasa a $12\times 3^2=108{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Si el área se multiplica por 9 y las figuras son semejantes, el factor de longitud es $\sqrt{9}=3$. Una reducción con $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ deja la mitad del perímetro y la cuarta parte del área.

14. Coordenadas y transformaciones en el plano

Distancias a partir de los ejes

En un punto $(x,y)$, la primera coordenada fija la posición horizontal y la segunda, la vertical. Para $A=(1,1)$ y $B=(5,4)$, el desplazamiento horizontal es $5-1=4$ y el vertical $4-1=3$. Estos cambios forman catetos de un triángulo rectángulo; la distancia recta es $AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$. Recorrer primero 4 unidades horizontalmente y luego 3 verticalmente da un camino de 7 unidades, no la distancia recta.

En general, entre $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, la distancia es $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$. Usa una misma unidad y una escala compatible en ambos ejes. El punto medio se obtiene promediando cada coordenada: $M=({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}},{\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}})$. En el ejemplo, $M=(3,\mathrm{2,5})$.

Mover, reflejar, girar o cambiar el tamaño

Una traslación mueve todos los puntos el mismo desplazamiento; por ejemplo, $(x,y)\mapsto (x+2,y+1)$. Una reflexión produce una imagen simétrica respecto de una recta; frente al eje vertical, $(x,y)\mapsto (-x,y)$. Una rotación gira la figura alrededor de un centro y un ángulo; al girar ${90}^{\circ }$ en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen, $(x,y)\mapsto (-y,x)$.

Traslaciones, reflexiones y rotaciones conservan longitudes, ángulos, perímetro y área: producen figuras congruentes. Una homotecia multiplica por un mismo factor las distancias desde un centro. Con centro en el origen y factor positivo $k$, $(x,y)\mapsto (kx,ky)$; conserva ángulos y produce figuras semejantes. Si $k=2$, las longitudes se duplican y las áreas se multiplican por cuatro.

15. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Identificar los lados respecto de un ángulo

Además de Pitágoras, puedes relacionar ángulos y longitudes mediante razones trigonométricas. Para un ángulo agudo $\theta$, el cateto opuesto queda enfrente; el adyacente toca el ángulo y no es la hipotenusa. Al elegir el otro ángulo agudo se intercambian los nombres opuesto y adyacente, pero la hipotenusa sigue siendo la misma.

Las razones son $\mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}$, $\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}}$ y $\tan \theta ={\displaystyle \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}$. Comparan lados medidos en la misma unidad, de modo que sus unidades se cancelan. En un triángulo de lados 3, 4 y 5, con el lado de 3 opuesto a $\theta$, se obtiene $\mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$, $\cos \theta ={\displaystyle \frac{4}{5}}$ y $\tan \theta ={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Elegir la razón a partir de los datos

Si conoces una distancia horizontal y buscas una altura respecto de esa horizontal, la tangente conecta los dos catetos. Si conoces un lado inclinado que es hipotenusa, puedes necesitar seno o coseno. Identifica primero el triángulo y el ángulo recto; no elijas una fórmula solo porque aparece un ángulo.

1. El instrumento está a $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$ del suelo, a 8 m horizontalmente del objeto, y mide un ángulo de elevación de ${45}^{\circ }$. Llama $h$ a la altura por encima del instrumento.
2. Escribe $\tan {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{8}}$. Como $\tan {45}^{\circ }=1$, resulta $h=8\mathrm{m}$.
3. La altura total es $H=8+\mathrm{1,5}=\mathrm{9,5}\mathrm{m}$, si ambos apoyos están al mismo nivel.
4. La igualdad de los catetos en un triángulo rectángulo de ${45}^{\circ }$ confirma los 8 m. Si usas calculadora, el modo debe corresponder a grados para introducir 45 de esta forma.

Ejemplos resueltos paso a paso

Errores frecuentes y cómo evitarlos

Lo que debes recordar

Autoevaluación: cinco preguntas originales

Elige una sola respuesta por pregunta y escribe el procedimiento que la justifica. Consulta las soluciones después de intentar resolverlas.

Pregunta 1

Un jardín mide 8 m por 6 m. Se construye por fuera un camino de 1 m de ancho alrededor de los cuatro lados. ¿Cuál es el área del camino?

1. $28{\mathrm{m}}^2$
2. $32{\mathrm{m}}^2$
3. $48{\mathrm{m}}^2$
4. $80{\mathrm{m}}^2$

Pregunta 2

Un triángulo se amplía a otro semejante. Un lado de 4 cm pasa a medir 10 cm. Si el área original es de 12 centímetros cuadrados, ¿cuál es el área ampliada?

1. $30{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
2. $60{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
3. $75{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
4. $120{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Pregunta 3

Se quieren unir tres varillas por sus extremos, sin doblarlas ni superponerlas, para formar un triángulo. ¿Qué conjunto de longitudes lo permite?

1. 2 cm, 3 cm y 5 cm.
2. 2 cm, 3 cm y 6 cm.
3. 1 cm, 4 cm y 7 cm.
4. 4 cm, 5 cm y 8 cm.

Pregunta 4

Una cartulina tiene forma de cuarto de círculo de radio 4 cm. Se quiere poner cinta en todo su borde. ¿Qué longitud de cinta se requiere?

1. $(2\pi +8)\mathrm{c}\mathrm{m}$
2. $2\pi \mathrm{c}\mathrm{m}$
3. $4\pi \mathrm{c}\mathrm{m}$
4. $(8\pi +8)\mathrm{c}\mathrm{m}$

Pregunta 5

En un plano cartesiano con la misma unidad en ambos ejes, los puntos A y B son $(1,1)$ y $(5,4)$. Una estudiante dice que la distancia recta es 7 porque sumó el cambio horizontal y el vertical. ¿Qué respuesta corrige su razonamiento?

1. Es 7: toda distancia se obtiene sumando ambos cambios.
2. Es 5: los cambios 4 y 3 son catetos y la distancia recta es la hipotenusa.
3. Es 12: hay que multiplicar los cambios 4 y 3.
4. Es 25: la suma de los cuadrados ya es la distancia.

Respuestas y explicaciones

Compara cada paso con tu procedimiento y comprueba cómo se descartan las otras opciones.

Pregunta 1: opción B

1. El ancho de 1 m se añade en dos extremos de cada dimensión: $8+2=10$ m y $6+2=8$ m.
2. Área exterior: $10\times 8=80{\mathrm{m}}^2$.
3. Área interior: $8\times 6=48{\mathrm{m}}^2$.
4. Diferencia: $80-48=32{\mathrm{m}}^2$.

La opción B resta el interior a la figura exterior. La opción A omite las esquinas; C es el área del jardín y D es la del conjunto jardín y camino.

Pregunta 2: opción C

1. El factor de longitud es $k={\displaystyle \frac{10}{4}}=\mathrm{2,5}$.
2. El factor de área es $k^2={\mathrm{2,5}}^2=\mathrm{6,25}$.
3. Área ampliada: $12\times \mathrm{6,25}=75{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
4. Comprueba la razón: ${\displaystyle \frac{75}{12}}=\mathrm{6,25}=k^2$.

La opción C aplica el cuadrado del factor de longitud. La opción A multiplica el área solo por el factor lineal; las otras opciones no conservan la relación de semejanza indicada.

Pregunta 3: opción D

1. Ordena cada conjunto e identifica su lado mayor.
2. En A, $2+3=5$: se exige desigualdad estricta, no igualdad.
3. En B, $2+3<6$, y en C, $1+4<7$: no se cierra un triángulo.
4. En D, $4+5=9>8$, y todas las medidas son positivas: sí puede formarse.

La opción D cumple la desigualdad triangular. La igualdad de la opción A produce una figura alineada, sin interior; en B y C, los dos lados menores no alcanzan a cerrar la figura.

Pregunta 4: opción A

1. La circunferencia completa mide $2\pi \times 4=8\pi \mathrm{c}\mathrm{m}$.
2. El arco del cuarto de círculo mide ${\displaystyle \frac{8\pi }{4}}=2\pi \mathrm{c}\mathrm{m}$.
3. Faltan los dos segmentos rectos: $4+4=8\mathrm{c}\mathrm{m}$.
4. La cinta total mide $(2\pi +8)\mathrm{c}\mathrm{m}$, aproximadamente 14,28 cm.

La opción A suma el arco y los dos radios. B mide solo la curva; C no representa el contorno del sector, y D usa la circunferencia completa además de los radios.

Pregunta 5: opción B

1. El cambio horizontal es $5-1=4$; el vertical es $4-1=3$.
2. Los ejes son perpendiculares, por lo que estos cambios forman un triángulo rectángulo.
3. Pitágoras da $d^2=4^2+3^2=16+9=25$.
4. La distancia es $d=\sqrt{25}=5$ unidades, menor que el recorrido de $4+3=7$.

La opción B distingue el camino por dos tramos de la distancia recta. Sumar 4 y 3 da una ruta posible de 7 unidades, pero el segmento diagonal es más corto. La suma 25 es el cuadrado de la distancia.